Verschoben! Ebene die parallel zu einer anderen Ebene ist mit einem gegebenen Abstand

04.03.2013, 18:52

Elvandy100

Ebene die parallel zu einer anderen Ebene ist mit einem gegebenen Abstand

Hi,

ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

Und zwar weiß ich nicht genau ob mein Lösungsweg der beste ist oder ob es eine andere Möglichkeit gibt.

Ich habe nämlich erstmal mit dem Abstand einen Punkt "gebaut" mit der Abstandformel.

$\begin{eqnarray*} d = \frac{ax + by + cz + d}{|n|} \end{eqnarray*}$

Habe für x = 1 und y = 2 gewählt und habe z ausgerechnet.

Mein Punkt ist dann $\begin{eqnarray*} (1 ; 2; \frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt weiß ich nicht genau wie ich darauf eine Ebene bauen soll aber ich weiß wie es gehen könnte aber vielleicht gibt es eine bessere möglichkeit.

Denn ich würde die Koordinatenform in die Parameterform bringen und wenn ich die habe kann ich ja meinen Punkt einsetzen und die Richtungsvektoren der oberen Ebenengleichung.

Denn es gilt ja : 2 Ebenen sind parallel zueinander, wenn die 2 Richtungsvektoren in derselben Ebene liegen.

Oder ?

04.03.2013, 19:47

original

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RE: Ebene die parallel zu einer anderen Ebene ist mit einem gegebenen Abstand

Zitat:

Original von Elvandy100

ich hoffe ihr könnt Freude

$\begin{eqnarray*} d = \frac{ax + by + cz + d}{|n|} \end{eqnarray*}$ unglücklich

-> du solltest den Buchstaben d nicht in zwei verschiedenen Bedeutungen verwenden

also: du hast eine Ebene mit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} ax + by + cz + d = 0 \end{eqnarray*}$

die HNF dieser Ebene ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{ax + by + cz + d}{|n|}= 0 \end{eqnarray*}$

wenn nun ein Punkt nicht in E liegt, sondern den Abstand q von E hat,
dann liegt er in einer dieser beiden Ebenen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax + by + cz + d}{|n|}= \mp q \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} ax + by + cz + d \mp q \cdot |n| = 0 \end{eqnarray*}$

das sind also die Ebenen-Gleichungen die du suchst
fertig.

ok?

04.03.2013, 20:33

Elvandy100

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erstmal danke original und zweitens sry für die Doppelbesetzung von d, ich mag selber sowas nicht mir ist das aber dann auch nicht aufgefallen.

und ich war so vergesslich und habe vergessen die Aufgabe mit hochzuladen !!!

also ich suche zwei ebenen wie du gesagt hast einmal + und -

04.03.2013, 20:55

original

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Zitat:

Original von Elvandy100

also ich suche zwei ebenen wie du gesagt hast einmal + und -

ja - und falls du es noch nicht bemerkt hast:
genau diese beiden Ebenen habe ich für dich freundlicherweise oben ( +und - ) gefunden Prost

.. du musst nur noch selbst und ganz alleine traurig

einfach die gegebenen Zahlenwerte für die Parameter einsetzen
kannst du doch sicher?

05.03.2013, 14:24

Elvandy100

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Also war das was ich ja oben gemacht habe quatsch.

Wenn ich das richtig kapiert habe setze ich +3 und -3 für die Parameter ein damit habe ich

E1 : -12x + 6y - 12z +15 = 0

E1 : 12x - 6y + 12z +15 = 0

05.03.2013, 15:13

original

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Zitat:

Original von Elvandy100
Also war das was ich ja oben gemacht habe quatsch. Freude

Wenn ich das richtig kapiert habe setze ich +3 und -3 für die Parameter ein damit habe ich .. geschockt

.. nein, du hast leider nichts kapiert..
also nochmal:

du hast eine Ebene mit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} ax + by + cz + d = 0 \end{eqnarray*}$

in deinem Beispiel sieht die so aus:

$\begin{eqnarray*} 4x -2y + 4z + 15 = 0 \end{eqnarray*}$

also, die Parameter sind: a=4, b=-2, c=4 und d=15

der Betrag des Normalenvektors ist dann |n| = 6
und die HNF deiner Ebenengleichung ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot (4x -2y + 4z + 15) = 0 \end{eqnarray*}$

und wenn du nun Punkte im Abstand q=3 suchst,
dann liegen die in diesen Ebenen herum: ->

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot (4x -2y + 4z + 15) = \mp 3 \end{eqnarray*}$

vielleicht schaffst du ja jetzt den letzten Schritt richtig ->..
.

05.03.2013, 15:58

Elvandy100

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ne leider nicht das ist ja mein Problem gewesen.

soweit bin ich ja auch gekommen und dann dachte ich mir das ich mir aus der HNF mir einen Punkt suche der den Abstand 3 zur Ebene hat.

Und wenn ich mir für x und y Zahlen ausdenke und die dann nach z auflöse habe ich ja einen Punkt z.B $\begin{eqnarray*} (1 ; 2; \frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$ der den Abstand 3 zur ebene hat.

und ich dachte das ich mir jetzt irgendwie eine Ebene bauen kann. Aber das geht ja bestimmt anders.

05.03.2013, 19:08

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Zitat:

Original von Elvandy100

Und wenn ich mir für x und y Zahlen ausdenke und die dann nach z auflöse
habe ich ja einen Punkt z.B $\begin{eqnarray*} (1 ; 2; \frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$ der den Abstand 3 zur ebene hat.

und ich dachte das ich mir jetzt irgendwie eine Ebene bauen kann.

die beiden Ebenen, die du "bauen" kannst, stehen doch längst oben:

E1: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot (4x -2y + 4z + 15) =+ 3 \end{eqnarray*}$
und
E2: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot (4x -2y + 4z + 15) = - 3 \end{eqnarray*}$

dein "ausgedachter" Punkt $\begin{eqnarray*} (1 ; 2; \frac{3}{4}) \end{eqnarray*}$ liegt in E1
(probiers aus, dh setze ein und schaue, ob die Gleichung erfüllt ist...)

ALLE Punkte die du dir ausdenken kannst, bekommst du also auch ganz einfach:
sie müssen eine der beiden Gleichungen erfüllen: ->

E1: $\begin{eqnarray*} 4x -2y + 4z -3 = 0 \end{eqnarray*}$
oder
E2: $\begin{eqnarray*} 4x -2y + 4z + 33 = 0 \end{eqnarray*}$

du hast damit doch die beiden Lösungen deiner Aufgabe schon längst zum Anfassen vorliegen..

geht das denn gar nicht in deinen Kopf? traurig

05.03.2013, 19:33

Elvandy100

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oh man hätte nicht gedacht das es soooo geht aber es ist für mich jetzt verständlich geworden !

Ab und zu mal habe ich so Blockaden im Kopf da raffe ich nichts mehr verwirrt

Danke das du mir geholfen hast =)

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