Komplexe Zahlen 2

05.03.2013, 09:19

gast21

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Komplexe Zahlen 2

Meine Frage:
Hallo ich habe wieder bei einer Aufgabe probleme:

Bestimmen Sie sämtliche Lösungen z Element C der Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} \frac{z}{1-i}+ \frac{8+i}{i-2} = \frac{1}{2}*\vec{z} -3 -2i \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor?

Meine Ideen:
keine leider

05.03.2013, 09:34

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen 2
Ich nehme an, dieses seltsame $\begin{eqnarray*} \vec z \end{eqnarray*}$ soll die konjugiert Komplexe von z, also $\begin{eqnarray*} \bar z \end{eqnarray*}$ sein.

Ersetze z durch a+bi (die konjugiert Komplexe also durch a-bi), dann kannst Du a und b ausrechnen.

Viele Grüße
Steffen

05.03.2013, 10:01

gast21

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$\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{1-i}+ \frac{8+i}{i-2} = \frac{1}{2}*a-bi -3 -2i \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

05.03.2013, 10:03

Steffen Bühler

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Du mußt a-bi auf der rechten Seite klammern, der Faktor 1/2 gilt ja für beide Teile von z.

Ziel ist es jetzt, alles mit a und b auf die linke Seite, alles andere nach rechts zu bringen.

Viele Grüße
Steffen

05.03.2013, 10:05

gast21

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So?

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{1-i}+ \frac{8+i}{i-2} = \frac{1}{2}*(a-bi -3 -2i) \end{eqnarray*}$

05.03.2013, 10:06

Steffen Bühler

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Nein, der Faktor 1/2 stand doch nur vor z, nicht vor dem Rest

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05.03.2013, 10:07

gast21

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So oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{1-i}+ \frac{8+i}{i-2} = \frac{1}{2}*(a-bi )-3 -2i \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich genau als nächstes ?

Das wirkt alles so schwer.

05.03.2013, 10:13

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von gast21
So oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{1-i}+ \frac{8+i}{i-2} = \frac{1}{2}*(a-bi )-3 -2i \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von gast21
Aber was mache ich genau als nächstes ?
Das wirkt alles so schwer.

smile

Das wirkt nur so, keine Panik. Es ist wie bei "normalen" Gleichungen auch, wo das x auf eine Seite gebracht wird. Jetzt bringen wir halt a und b auf eine Seite.

Also erst mal das, was nur additiv da rumliegt. Das, was mit Plus oder Minus verknüpft ist, kannst Du ja einfach nach links und rechts sortieren.

05.03.2013, 11:39

gast21

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Wie gehe ich genau weiter vor?

05.03.2013, 11:49

Steffen Bühler

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Da hast Du einfach nur rechts das -3-2i ersatzlos gestrichen, oder?

Geh nochmal von der Gleichung aus, die Du vorher richtig hingeschrieben hattest. Du hast da vier einzelne Terme, an zwei davon ist a und b dran, an den anderen zweien nicht. Ich setze die vier mal in Klammern:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a+bi}{1-i})+ (\frac{8+i}{i-2}) = (\frac{1}{2}*(a-bi )) + (-3 -2i) \end{eqnarray*}$

Und jetzt, wie gesagt: sortier die Terme mit a und b nach links, die anderen nach rechts.

05.03.2013, 11:56

gast21

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Jetzt stimmt es oder?

05.03.2013, 12:28

Steffen Bühler

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Und jetzt, wie gesagt: sortier die Terme mit a und b nach links, die anderen nach rechts.

05.03.2013, 13:03

gast21

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WIe mache ich das jetzt genau?

Irgendwie bin ich grad überlastet.

KAnnst du mir einen kleinen Ansatz geben?

05.03.2013, 13:23

Steffen Bühler

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$\begin{eqnarray*} \color{red}(\frac{a+bi}{1-i})\color{black}+ \color{blue}(\frac{8+i}{i-2}) \color{black}= \color{green}(\frac{1}{2}*(a-bi )) \color{black}+ \color{cyan}(-3 -2i) \end{eqnarray*}$

Bei welchen Farben kannst Du a und b entdecken?

05.03.2013, 21:58

gast21

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So?

Wie gehe ich weiter vor?

06.03.2013, 08:56

Steffen Bühler

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Nein. Wieso hast Du den "grünen" Term dividiert statt subtrahiert? Den "blauen" hast Du ja richtig rübergeschoben. Tu das mit dem "grünen" genauso.

Es ist wie bei a+b=c+d. Da wird auch nix dividiert.

06.03.2013, 11:45

gast21

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Wie gehe ich weiter vor?

06.03.2013, 13:39

Steffen Bühler

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Beim letzten b (vor dem Gleichheitszeichen) fehlt noch ein i. Konzentration ist hier enorm wichtig, ruckzuck hat man sich verrechnet!

Gut. Nun links und rechts auf einen jeweils gemeinsamen Nenner bringen. Links also auf 1-i, den zweiten Term entsprechend erweitern. Rechts ist der gemeinsame Nenner i-2.

06.03.2013, 17:17

gast21

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Ok soweit habe ich es .

Wie gehe ich weiter vor?

06.03.2013, 17:27

Steffen Bühler

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Und wieder Konzentration - das letzte i im Zähler in der zweiten Zeile muß ein negatives Vorzeichen bekommen.

Aber die Konzentration wird belohnt, denn jetzt wird's recht einfach.

Multipliziere den Zähler links als nächstes aus.

06.03.2013, 19:09

gast21

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Welches i hat den ein negatives Zeichen?

Das verstehe ich nicht.

06.03.2013, 20:47

Steffen Bühler

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Du hast da aus einem -(8+i) ein -8+i gemacht. Siehst Du's? Und es muß halt -8-i heißen.

Der Zähler eines Bruches wird beim Weiterrechnen am besten geklammert, dann macht man nichts falsch. Zum Beispiel ist auch

$\begin{eqnarray*} - \frac {a+b}c = \frac {-(a+b)}c= \frac {-a-b}c \end{eqnarray*}$

06.03.2013, 21:29

gast21

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Ok ich habe jetzt das hier stehe.

Aber was mach ich jetzt?

07.03.2013, 09:23

Steffen Bühler

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Und wieder die Konzentration.

Wenn Du statt +i ein -i da stehen hast, wird der Zähler rechts zu

-3i + 6 + 2 + 4i - 8 - i

Und das ist nicht -4i, sondern...?

Willst Du eigentlich nicht mal unseren Formeleditor ausprobieren? Ist nicht schwer und würde das Ganze etwas übersichtlicher machen.

07.03.2013, 10:02

gast21

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Das wäre ja im Zähler 0 /i-2. oder?

07.03.2013, 10:04

Steffen Bühler

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Bingo! Das meinte ich damit, daß jetzt alles recht einfach wird. Hast Du links schon ausmultipliziert?

07.03.2013, 10:10

gast21

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2a+2bi-1+i-b+bi = 0

2a +3bi -1+i -b = 0

Wie gehe ich weiter vor?

07.03.2013, 10:32

Steffen Bühler

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Das kommt links nicht heraus, wenn Du

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{1-i} - \frac{a-bi}{2} \end{eqnarray*}$

rechnest. Mach's mal in kleinen Schritten.

07.03.2013, 10:38

gast21

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Oh man ich verstehe Nichtverstehen ich falsch mache?

07.03.2013, 10:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von gast21
Oh man ich verstehe Nichtverstehen ich falsch mache?

Dunkel ist Deiner Worte Sinn.

$\begin{eqnarray*} \frac{a+bi}{1-i} - \frac{a-bi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2 \cdot (a+bi) - (1-i) \cdot (a-bi)}{2-2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2a+2bi - (a-bi-ai-b)}{2-2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2a +2bi -a+bi+ai+b}{2-2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ... \end{eqnarray*}$

07.03.2013, 11:12

gast21

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a+3bi+ai+ b/2-2i

Wie gehe ich weiter vor?

07.03.2013, 11:19

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von gast21
a+3bi+ai+ b/2-2i

Richtig. Aber laß mich noch mal nörgeln: Ich weiß zwar, was Du meinst, aber so, wie Du's schreibst, wäre dieser Term

$\begin{eqnarray*} a+3bi+ai+ \frac b2-2i \end{eqnarray*}$

Du meinst aber

$\begin{eqnarray*} \frac {a+3bi+ai+b}{2-2i} \end{eqnarray*}$

Da Du den Formeleditor offenbar ablehnst, solltest Du dann wenigstens Klammern setzen, also in diesem Fall

(a+3bi+ai+b) / (2-2i)

Sonst wirst Du beim nächsten Mal falsch verstanden, und sowas hält auf.

Gut, dann zum Thema.

Auf der rechten Seite steht ja Null.
Das heißt: dieser Bruch muß Null ergeben.
Das heißt: der Zähler dieses Bruches muß Null ergeben.
Das heißt: Sowohl Realteil also auch Imaginärteil des Zählers müssen Null ergeben.

Was kommt somit für a und b heraus?

07.03.2013, 11:23

gast21

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Für beide 0 oder?

07.03.2013, 11:27

Steffen Bühler

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Richtig. Und damit haben wir auch die (einzige) Lösung, denn wir hatten ja z=a+bi gesetzt.

Fertig. So viel Gerechne, und dann das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viele Grüße
Steffen

07.03.2013, 11:31

gast21

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Danke Steffen.

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