Elastizität + Abnehmender Grenznutzen

05.03.2013, 12:10

Bernd29

Elastizität + Abnehmender Grenznutzen

Meine Frage:
Aufgabe:
Der Nutzen U eines Konsumenten hänge über $\begin{eqnarray*} U(x) = 6^{0,5} * \sqrt[2]{x-2} \end{eqnarray*}$
von der Gütermenge x ab. $\begin{eqnarray*} f:[2,\infty )->R \end{eqnarray*}$

a) Für welche Menge x ist die Elastizität des Nutzens = 1? Interpretieren Sie dieses Ergebnis.

b) Zeigen Sie, dass der Grenznutzen für x>2 positiv und abnehmend ist.

Meine Ideen:
a)
$\begin{eqnarray*} U'(x) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{x-2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{Ux} = U'(x) * \frac{x}{U} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich alles eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{x-2}} * \frac{x}{\sqrt{6} * \sqrt{x-2}} \end{eqnarray*}$

Lösung: Eux = 1 = x / (2x - 4)
2 x - 4 = x
x = 4

U(4) = 3,4641

Wird x, ausgehend von 4 Einheiten, um 1 % erhöht, so erhöht sich der Nutzen U um 4 %.

Ich denke, a) habe ich richtig gemacht. Wär aber super, wenn mir jemand das so bestätigen könnte.

b)
Hier habe ich deutlich mehr Schwierigkeiten und bräuchte echt mal einen Ansatz.

Habe einfach mal bestimmt:

$\begin{eqnarray*} U'(x) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{x-2}} \end{eqnarray*}$

Dann x = 2 eingesetzt

$\begin{eqnarray*} U'(2) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2-2}} \end{eqnarray*}$

Was mich hier wundert ist, dass der Nenner Null ist. So ist nämlich auch der Grenznutzen an dieser Stelle Null und eben nicht positiv. Aber über 2 wird er dann ja positiv......hm ist das vielleicht sogar schon der Beweis? Denn alle x > 2 sind ja positiv, da die Wurzel im Nenner positiv wird.

Und abnehmend müsste der Grenznutzen ja sein, da die Wurzel und somit der Nenner immer größer wird, was bei einem konstanten Zähler Wurzel(6) natürlich zu immer geringerem Grenznutzen führt.

Nur wie zeigen ich das mathematisch?

Würde mich super freuen, weil so eine Aufgabe kommt nächstes Woche in meiner Matheklausur wohl auf jeden Fall dran. Sehr großen Dank schonmal!

05.03.2013, 12:27

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Edit:
die a) ist fast richtig. Da die Elastizität bei x=4 gleich 1 ist, stimmt folgende Aussage nicht:

Zitat:

Wird x, ausgehend von 4 Einheiten, um 1 % erhöht, so erhöht sich der Nutzen U um 4 %.

Bei der b) würde ich den positiven Grenznutzen folgende Ungleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} U'(x) = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{x-2}} > 0 \end{eqnarray*}$

Der Zähler ist positiv, somit muss jetzt auch der Nenner positiv sein.

Dass der Grenznutzen abnehmend ist, kannst du über die 2. Ableitung zeigen. Ist die zweite Ableitung negativ, dann ist der Grenznutzen abnehmend.

Grüße.

Neue Frage »

Antworten »

Elastizität + Abnehmender Grenznutzen

Verwandte Themen