Äquivalenz zwischen Matrixnormen

05.03.2013, 13:26

gaestchen

Äquivalenz zwischen Matrixnormen

Hallo

Ich würde gerne die folgende Äquivalenzen beweisen:

Für Matrizen $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{m \times n} \end{eqnarray*}$ :

i) $\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \leq \|A\|_F \leq \sqrt{\operatorname{rank}(A)}\|A\|_2 \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_\infty \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{m}\|A\|_\infty \end{eqnarray*}$

iii) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1 \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{n}\|A\|_1 \end{eqnarray*}$

Ich hab ein paar Ansätze, aber nichts wirklich brauchbares. Beispielsweise könnte ich alle Äquivalenzen auf Äquivalenzen von Vektornormen zurückführen. Also bei ii) würde ich die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} \|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\|x\|_\infty \end{eqnarray*}$ . Das mal gesagt, wüsste ich bei ii) gar nicht mehr was noch beweisen. Schliesslich ist ja $\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \end{eqnarray*}$ auch ein Vektor, da es als $\begin{eqnarray*} max \|Ax\|_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = 1 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Also substituiere ich A mit x und habe den Beweis quasi schon. Oder entgeht mir da was? Selbiges bei iii). Lediglich bei i) wüsste ich nicht genau was machen.

Grüsse

05.03.2013, 13:53

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenz zwischen Matrixnormen

Zitat:

Original von gaestchen
Schliesslich ist ja $\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \end{eqnarray*}$ auch ein Vektor, da es als $\begin{eqnarray*} max \|Ax\|_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = 1 \end{eqnarray*}$ definiert ist. Also substituiere ich A mit x und habe den Beweis quasi schon.

Wie ist denn das zu verstehen? Wie kann denn eine Norm ein Vektor sein? Eine Norm ist eine Zahl. Du kannst auch nicht einfach A durch x ersetzen.

Irgendwie missverstehst du wohl die Definition der Matrix-Norm: Sei $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R^{m\times n} \end{eqnarray*}$ . Man betrachtet alle Vektoren $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ , deren Norm gleich 1 ist und deren Abbildung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ . Von diesen Bildvektoren wird dann die Norm gebildet und davon Maximum gesucht: $\begin{eqnarray*} \Vert A\Vert := \max\{\Vert Ax\Vert ,x\in\mathbb R^n\small\text{ mit }\Vert x \Vert = 1\} \end{eqnarray*}$

05.03.2013, 14:01

ein_gaestchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab mich falsch ausgedrückt. Demnach meine ich, dass die Abbildung auch wieder ein Vektor ist. Wie könnte ich bei ii) mit dem Beweis beginnen?

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenz zwischen Matrixnormen

Verwandte Themen