Exponentialfunktion - Berechnung der Population

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05.03.2013, 15:09

Tipso

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Exponentialfunktion - Berechnung der Population

Hallo,

Zitat:

Nach 3 Stunden gibt es in einer Kultur von Antibiotika 1.000 Einheiten; nach 7 Stunden 5.000.

Zitat:

Wie groß ist die prozentuelle Veränderung pro Stunde?

Zitat:

Frage: Wie hoch ist die Population nach 10 Stunden? Wie groß war sie am Anfang?
Hat man die Wachstumskonstante a, bekommt man leicht den Anfangswert y(0):

Zitat:

Frage: Wann sind 100.000 Einheiten des Antibiotikums erreicht?

.........................................................................................................................

Lösungsvorschlag:

Die allgemeine Form ist:

$\begin{eqnarray*} y_1 = y_0 * a^x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_1 = y_0 * \left(1*\frac{p}{100} \right) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun bei a.
Was ist gegeben? und was ist gesucht?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
geg.
3h = 1000
7h = 5000

ges.
1h = x%?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lösung:

Was ist den nun gesucht?
a^x = also das x?

lg

05.03.2013, 15:54

adiutor62

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RE: Exponentialfunktion - Berechnung der Population
Ansatz um den Wachstumsfaktor a zu berechnen:
Es vergehen 4 Stunden, bis aus 1000 Einheiten 5000 Einheiten entstehen.

$\begin{eqnarray*} 5000=1000*a^4 \end{eqnarray*}$

Damit lässt sich a sehr einfach berechnen.Mit diesem Faktor kannst du dann weiterrechnen.

05.03.2013, 16:04

Tipso

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hi,

Wie kommst du rechnerisch auf diesen Ansatz?
---------------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} 5000 = 1000 * a^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 1,49534 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(1) = 1000 * 1,4995348 = 1 499, 5348 \end{eqnarray*}$ Bakterien.
------------------------------------------------------------------------------------
Prozentuale Veränderung = a = 1,49534 %

05.03.2013, 16:12

adiutor62

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Da sind $\begin{eqnarray*} 49,53% \end{eqnarray*}$ pro Stunde.

Umrechnung in Prozent geht so: ( a-1)*100

Zum Ansatz:

Man nimmt einen Bezugszeitraum, den man kennt, und setzt den Anfangs- und Schlussbestand in die bekannte Formel ein.

05.03.2013, 16:14

Tipso

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a.

Statt Wurzel ziehen geht auch Logarithmus.

b.
1.

Zitat:

Frage: Wie hoch ist die Population nach 10 Stunden? Wie groß war sie am Anfang?

Zitat:

Hat man die Wachstumskonstante a, bekommt man leicht den Anfangswert y(0):

1.

$\begin{eqnarray*} y(10) = 1000 * 1,4995348^10 = 5,590169944 * 10^34 \end{eqnarray*}$

2.

Hier wird es etwas kompliziert. Ich glaube bei 1. muss ich mit 7 potenzieren statt mit 10, da ich schon bei ^3 bin.

Was ist mein Anfangswert? $\begin{eqnarray*} 1000 = x* 1,4995348^3 \end{eqnarray*}$ .

lg

05.03.2013, 16:19

Tipso

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Zitat:

Man nimmt einen Bezugszeitraum, den man kennt, und setzt den Anfangs- und Schlussbestand in die bekannte Formel ein.

$\begin{eqnarray*} 3h = 1000 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7h = 5000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(3) = x *a^3 = 1000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(7) = x*a^7 = 5000 \end{eqnarray*}$

-----------------------------------------

Verstehe den Rechenweg nicht, wie du von hier auf:

$\begin{eqnarray*} 5000 = 1000 *a^4 \end{eqnarray*}$ kommst.

Setzt du die Gleichungen gleich?

------------------------------------------------------------------------

Ich dachte es gibt einen Rechenweg, also gibt es keinen. Ich muss die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 5000 = 1000 *a^4 \end{eqnarray*}$ aus dem Text herauslesen können.

lg

05.03.2013, 16:21

adiutor62

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a) Ist möglich,macht die Sache aber unnötig kompliziert.

b)nach 10 Stunden:
$\begin{eqnarray*} 5000*a^3 \end{eqnarray*}$
0der:
$\begin{eqnarray*} 1000*a^7 \end{eqnarray*}$

c)Anfangswert:
$\begin{eqnarray*} 1000*a^{-3} \end{eqnarray*}$
Oder:
$\begin{eqnarray*} 5000*a^{-7} \end{eqnarray*}$

05.03.2013, 16:37

Tipso

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Hi,

c.
Muss ich mir überlegen damit ich es verstehe.

Wir nehmen den kehrwert der Potenz(Zeit).
Interessant wäre natürlich, wie ich darauf komme. (Rechenweg) - folgt.

Anfangswert = 299
Beim Potenzieren mit negativen Werten sind aber nicht unbedingt klammern erforderlich, nehme ich an.

$\begin{eqnarray*} \left(4\right)^{-3} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 4^{-3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Frage: Wann sind 100.000 Einheiten des Antibiotikums erreicht?

$\begin{eqnarray*} y(x) = 299 * 1,499^x = 100 000 \end{eqnarray*}$

Hier geht es wohl nicht ohne Logarithmus!!
Hingegen bei
a.

Zitat:

Wie groß ist die prozentuelle Veränderung pro Stunde?

war es mit Logarithmus oder Wurzel ziehen möglich an die Lösung zu gelangen.

Hier brauche ich unbedingt den Anfangswert nehme ich an.

lg

05.03.2013, 17:00

adiutor62

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Du solltest schon den korrekten Wert für a = 1,4953 verwenden.

Immer wenn der Exponent gesucht ist, musst du logaritmieren.
Die prozentuale Änderung pro Stunde ist immer gleich, nämlich 49,53%.
Du musst den Anfangsbestand nicht kennen, um die Änderung pro Stunde zu ermitteln.

05.03.2013, 17:15

Tipso

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Hi,

Thx für die Info.

Ich muss leider schon los.
Bin gegen 20 Uhr wieder online und werde dann die Aufgabe fertigstellen.

Zusammenfassung:

Offene Frage zum Rechenweg von c.

offener Logarithmus von:

$\begin{eqnarray*} y(x) = 299 * 1,4953^x = 100 000 \end{eqnarray*}$

Die Frage hier ist, was mache ich mit dem Anfangswert? bzw. warum brauche ich diesen nicht?

x = logarithmus von 100 000 zur Basis a.

lg

05.03.2013, 17:26

adiutor62

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RE: Exponentialfunktion - Berechnung der Population
Du kannst von jedem Zwischenwert (1000, 5000) aus weiterrechnen, sobald du den Wachstumsfaktor a ermittelt hast. Du musst nur am Schluss die bis dahin vergangenen Stunden hinzuaddieren.
Hier hat der Anfangswert den Vorteil,dass du sofort auf die Gesamtstundenzahl kommst, die für den Endwert (100000) gesucht ist. Nimm also deinen Ansatz in diesem Fall.

05.03.2013, 21:27

Tipso

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$\begin{eqnarray*} y(x) = 299 * 1,4953^x = 100 000 \end{eqnarray*}$

Ich muss logarithmieren, bin mir hier aber sehr unsicher wie ich es hier durchführe verwirrt

Versuch:

1.

$\begin{eqnarray*} log\frac{100000}{299} = (1,4953) log x \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} log(100 000) = log(200) * (1,4953) log x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1,4953) \end{eqnarray*}$ ist jeweils die Basis.

lg

05.03.2013, 22:26

Tipso

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Zitat:

c)Anfangswert:
$\begin{eqnarray*} 1000*a^{-3} \end{eqnarray*}$
Oder:
$\begin{eqnarray*} 5000*a^{-7} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf dem Rechenweg dazu.

a = 1,4953.

Ich stelle zwei Gleichungen auf und löse dann auf?

05.03.2013, 23:26

opi

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Eine Anmerkung zwischendurch: Mir ist gestern ein böser Schreibfehler unterlaufen.

Zitat:

Original von opi:
Die einzelnen Aufgabenteile in Zitate zu verpacken, macht alles noch übersichtlicher.

Unübersichtlicher. Ich meinte Unübersichtlicher. Hammer

Bitte unterlasse das Zerstückeln der Aufgaben und verwende die Zitatfunktion nur sparsam. smile

06.03.2013, 07:50

adiutor62

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Wenn man Zwischenwerte und die entsprechenden Zeiträume kennt, kann man mit dem Wachstumsfaktor zurückrechnen. Das drückt der negative Exponent aus: Man geht um den entsprechenden Zeitraum "rückwärts" und erhält so den Anfangswert.
Hier ist es egal, von welchem Zwischenwert du ausgehst.
Ich habe dir nur beide Möglichkeiten aufzeigen wollen.
Ich hoffe, das beantwortet deine Frage. smile

06.03.2013, 13:23

Tipso

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Achso, verstehe.

Ich meinte den formalen Rechenweg dazu.
Ich habe schon verstanden warum es so gemacht wird.

lg

Ps.
Wenn ich nun eine bestimmte Bevölkerung x.

06.03.2013, 13:31

adiutor62

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Könntest du dich etwas genauer ausdrücken.
Woauf willst du hinaus ? Den Rechenweg habe ich doch beschrieben, oder?
Welche Bevölkerung meinst du ?

06.03.2013, 13:56

Tipso

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Es geht um die Aufgabenstellung b_2.

$\begin{eqnarray*} y(3) = x *a^3 = 1000 \end{eqnarray*}$

Wie ich von hier auf:

$\begin{eqnarray*} y(-3) = 1000 *a^{-3} = x \end{eqnarray*}$

komme um den Anfangswert zu berechnen.

Hier Forme ich also einfach um = Rechenweg.
Du hast es sehr gut erklärt, nur habe ich es nicht geschafft durchzublicken wie ich den über den Formalen Rechenweg(umformung?) darauf komme.

Ich verstehe den Ansatz, ich verstehe wie ich darauf komme.
Unser Lehrer verlangt jedoch einen formalen Rechenweg.

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06.03.2013, 14:04

adiutor62

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In Worten:
Perodenendwert(y_1)= Periodenanfangswert(y_0)*Wachstumsfaktor hoch Periodendauer

$\begin{eqnarray*} y_1=y_0*a^x \end{eqnarray*}$
Dabei kann x auch negativ sein, wenn man zurückrechnen muss, um z.B. den Anfangsbestand zu ermitteln.

06.03.2013, 14:07

Tipso

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Jetzt verstehe ich es auch auf dem Rechenweg:

Also muss ich diese Gleichung

$\begin{eqnarray*} y_1=y_0*a^x \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} y_0=y_1*a^{-x} \end{eqnarray*}$

umformen um mein Ergebnis(Anfangswert) zu erhalten. Freude

06.03.2013, 14:28

adiutor62

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So ist es. Freude

06.03.2013, 14:43

Tipso

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Dann will ich noch c. beantworten.

Zitat:

Frage: Wann sind 100.000 Einheiten des Antibiotikums erreicht?

$\begin{eqnarray*} y(x) = 299 * 1,4953^x = 100 000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log\left(\frac{100000}{299}\right) = x log (1,4953) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{og\left(\frac{100000}{299}\right) }{log (1,4953)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 14,447 \end{eqnarray*}$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Umformung:

$\begin{eqnarray*} y_1=y_0*a^x \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} y_0=y_1*a^{-x} \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} y_1=y_0*a^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_0 = \frac{y_1}{a^1} = y_0 = y_1*a^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich glaube hier ist y_1 falsch.

Da y_1 = Funktionswert, ich brauche aber das Ergebnis des Funktionswertes.

lg

06.03.2013, 14:57

adiutor62

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Passt doch. Wo ist das Problem ?

06.03.2013, 15:03

Tipso

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Hi,

Ich weiß, dass ich das richtige meine.

Im Rechenweg verstehe ich dies nicht.

$\begin{eqnarray*} y(299) = 299 * 1,4953^x = 100 000 \end{eqnarray*}$

Demnach müsste y(299) = 100 000 [/latex]

sein damit:

$\begin{eqnarray*} y_0=y_1*a^{-x} \end{eqnarray*}$

stimmt.

Aber

y(299) = Funktionswert

100 000 = Ergebnis des Funktionswert

y(299) = y-Wert auf dem 299sten x-Wert.

lg

Ps.
Ich versuche alles sehr genau zu verstehen.

06.03.2013, 15:21

adiutor62

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Du bringst hier wétwas durcheinander:
Offenbar willst du vom Anfangswert 299 zum Endwert 100000,also ist y_0=299 und y_1=100000.
Wenn du umgekehrt vom Endwert zum Anfangswert willst, ist y_0=100000 und y_1=299. Dann erhälst du ein negatives x, dessen Betrag die Anzahl der Perioden vorher angibt.

06.03.2013, 15:38

Tipso

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Den Vorgang habe ich verstanden.

$\begin{eqnarray*} y_1(x) = 299 * 1,4953^x = 100 000 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung ist doch richtig.

Dabei ist

y_1(x) = 100 000

Warum?

06.03.2013, 15:56

adiutor62

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Ja, wenn du die Periodenzahl vom Anfangswert 299 aus berechnen willst, die für den Endwert 100000 erforderlich ist.

06.03.2013, 16:06

Tipso

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Ich glaube, ich habe dich nun verstanden.

y_1(x) = Funktionswert

Dieser hat ein Ergebnis = Endwert.

Wenn ich nun nicht den Endwert sondern etwas anderes berechnen will, nehme ich den Endwert als y_1(x).

War ganz klar.

Freude

06.03.2013, 16:26

Tipso

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Ich glaube, ich verwechsle hier etwas vom linearen Wachstumsmodell mit dem des exponentiellen Wachstumsmodelles.

lg

Edit:
@opi

Freude

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