Muss man Abgeschlossenheit nachweisen?

19.02.2007, 19:10

timadler

Muss man Abgeschlossenheit nachweisen?

Hey zusammen,

ich versuche gerade eine Aufgabe nachzuvollziehen: Es geht darum eine Untergruppe nachzuweisen und zwar in einer bereits existenten Gruppe G mit o als Verknüpfung. Diese Untergruppe U soll Teilmenge von G sein.

Die Musterlösung, die ich vorliegen habe ist eigentlich nur, dass man argumentiert, dass alle Eigenschaften in G bereits gegeben sind und deshalb auch in U gelten. Insbesondere auch solche Dinge, wie Vorhandensein von Inversen und neutralem Element.

Was ich nicht wiederfinden kann, ist ein Nachweis der Abgeschlossenheit. Auch ein direkter Nachweiss, warum für ein Element a aus U auch immer ein Inverses zu a existiert und in U liegt.

Ist es nicht auch denkbar, dass ich U so wähle, dass die Inversen nicht mit dabei sind? Bzw. warum muss man Abgeschlossenheit nicht extra zeigen? Könnte es nicht sein, dass wenn man U entsprechend wählt, dass eine Verknüpfung a o b aus der Untermenge herausgeht?

19.02.2007, 19:46

papahuhn

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RE: Muss man Abgeschlossenheit nachweisen?
Soll das wirklich eine beliebige Teilmenge sein?

19.02.2007, 20:00

timadler

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Zitat:

Es sei G eine Gruppe mit der Operation o: G x G -> G. Sei $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ . Dann heißt U eine Untergruppe von G, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a \circ b \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar a \in U \end{eqnarray*}$ .

Wobei mir da jetzt bereits auffällt, dass U ja doch eingeschränkt wurde. Nur halt nicht in Mengenschreibweise. Vermutlich isses dann doch keine beliebige Untergruppe.

Warum aber, ist das inverse Element dann zwingend enthalten ?

19.02.2007, 20:02

papahuhn

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Zitat:

Original von timadler
Zitat:

Es sei G eine Gruppe mit der Operation o: G x G -> G. Sei $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ . Dann heißt U eine Untergruppe von G, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a \circ b \in U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar a \in U \end{eqnarray*}$ .

Wobei mir da jetzt bereits auffällt, dass U ja doch eingeschränkt wurde. Nur halt nicht in Mengenschreibweise. Vermutlich isses dann doch keine beliebige Untergruppe.

Warum aber, ist das inverse Element dann zwingend enthalten ?

Ich nehme an, mit $\begin{eqnarray*} \bar a \end{eqnarray*}$ ist bereits das Inverse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gemeint. Dann ists nach Voraussetzung eine Gruppe.

19.02.2007, 20:46

timadler

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Hupps, da schrieb ich inverses meine aber neutrales!

Ich weiss, dass man $\begin{eqnarray*} a \circ \bar a = n \end{eqnarray*}$ in U verknüpfen kann. Aber das gilt ja dann auch nach Voraussetzung....jetzt sind alle Lampen an smile

20.02.2007, 09:44

gast2

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Man muss allerdings schon fordern, dass die Teilmenge nichtleer ist.

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Muss man Abgeschlossenheit nachweisen?

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