Extremwertaufgabe: Günstigster Zylinder (Dose) |
| 05.03.2013, 21:13 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe: Günstigster Zylinder (Dose) Meine erste Aufgabe Extremwertaufgabe bitte brauche Hilfe 
Danke im vorraus.Ein Kunststoff verarbeitender Betrieb soll eine zylinderförmige Öldose mit 1 Liter Volumen herstellen. Da Deckel und Boden aus verstärkter Pappe gefertigt werden können, betragen die Materialkosten hierfür nur 1GE/cm², während der Mantel aus hochwertigem Kunststoff doppelt so teuer ist. Welche Abmessungen hat die Dose mit den niedrigsten Herstellkosten, und wie hoch sind diese? Dazu ist noch angegeben das 2r die breite ist und die Höhe gleich h ist. Meine Ideen: Meine Idee ist es eine Hb und NB aufzustellen um die NB in die Hauptbedingung einzusetzen. A=\pi*r² ist ja der Flächeninhalt kann mir jemand helfen bitte Buch Block Taschenrechner alles bereit |
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| 05.03.2013, 21:14 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Hast du eine Idee, was die HB und was die NB sein könnte?
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| 05.03.2013, 21:19 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ich komme nur durch rechersche da drauf selber kam ich nicht drauf. Hb 0=2*/pi*r²+2*/pi*r*h |
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| 05.03.2013, 21:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Du brauchst keine Zeit für Recherchen aufwenden, wenn du Fragen hast, stell sie einfach. 
Die HB die die Größe, die minimiert (oder maximiert) werden soll. Hier ist es der Preis für die Herstellung und dieser Preis hängt direkt von der Oberfläche der Dose ab. Daher nehmen wir die Oberflächenformel für die HB. 
Für die NB ist oftmals ein Wert vorgegeben, hier die 1 Liter Volumen. Wir verwenden sie, um eine der Variablen in der HB zu ersetzen, so dass die HB nur noch 1 Variable hat. Dazu wird die NB nach dieser Variablen umgestellt. Frage: Wie könnte die NB aussehen und nach welcher Variablen würdest du umstellen?
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| 05.03.2013, 21:26 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Das Problem ist das Verständnis, ich komm mir voll blöd vor 
wie so weshalb warum ich überhaupt eine Bedingung aufstelle. Und genau definieren kann ich Hb und Nb auch nicht. Also was ich da überhaupt mache wieso ich überhaupt sowas aufstellen muss. Tut mir leid das mein Lehrer es überhaupt nicht drauf hat und lieber Kaffe drinken geht. |
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| 05.03.2013, 21:29 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose V=A*h ist Volumen also ist 1L =A*h ? |
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| 05.03.2013, 21:30 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Stimmt soweit.
Statt A sollten wir aber lieber die Kreisfläche verwenden.
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| 05.03.2013, 21:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose
Das habe ich dir alles sehr ausführlich oben aufgeschrieben.
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| 05.03.2013, 21:33 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose du meinst also /*r²*h=1Liter ? tut mir leid die Antwort kam bevor ich abgeschickt habe. |
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| 05.03.2013, 21:37 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ich wurde gebannt wegen spam |
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| 05.03.2013, 21:38 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ja, meine ich.
Wir wandeln den Liter mal in cm³ um (und lassen die Einheit weg): 1000 = pi*r²*h Würdest du jetzt nach r oder nach h umstellen?
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| 05.03.2013, 21:42 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Also ich würde nach h auflösen weil ich es nur 1 mal einsetzten muss in die Hb. Aber wie komme ich auf die Hb nochmal weil vom Zylinder ist ja normal die Mantelfläche M=2*/pi*r*h und wieso komme ich dann auf 0=2*/pi*r²+2*/pi*r*h |
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| 05.03.2013, 21:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Zunächst: Ja, das ist genau das richtige Motiv, h zu wählen.
Zudem hast du das r ja quadriert, das wäre unschön, dass durch einen größeren Ausdruck zu ersetzen. Die Dose besteht ja nicht nur aus dem Mantel, sie hat auch Deckel und Boden. So kommt zweimal die Kreisfläche hinzu. Kannst du jetzt die NB nach h umstellen und vielleicht schon das h in der HB ersetzen? btw: Bitte lass den Schrägstrich vor dem pi, das stört nur. Wenn du mit Latex schreiben willst, musst du es eh so schreiben: \pi (oder besser gleich den Formeleditor nutzen und auf das pi-Symbol klicken.)
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| 05.03.2013, 21:52 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose ok sry ich verstehe das mit dem Latex nicht 
sonst würde ich es auch gerne so schreiben wie du
ok also wenn ich nach h auflöse erhalte ich 1000/pi*r²=h / = Bruchstrich |
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| 05.03.2013, 21:54 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Richtig, und das setzen wir jetzt in die HB ein. HB: O(r) = 2*pi*r² + 2*pi*r*h ==> Mach mal.
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| 05.03.2013, 22:00 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose kurze Frage wieso 0(r) also eingesetzt sieht das so bei mir aus 0(r)=2*pi*r²+2*pi*r*(1000/pi*r²) / = Bruchstrich Also bis jetzt folge ich dir mit offenen Ohren
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| 05.03.2013, 22:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose O(r) weil wir die Funktion der Oberfläche mit der Variablen r aufgestellt haben. Diese Funktion muss gleich abgeleitet werden. Zunächst solltest du aber noch schauen, ob du kürzen kannst.
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| 05.03.2013, 22:10 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose hehe das war nie so meine Stärke ;O kann ich überhaupt was
hahaalso ich vermute das es so geht 0(r)=2*pi*r²+2*pi*r*(1000/pi*r²) | -2*pi*r*(1000/pi*r²) -2*1000/r=2*pi*r² | -2*pi*r² -2*-2*1000*pi*r=0 ? ouhmanooo manoman ich glaub jetzt gibts ärger XD |
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| 05.03.2013, 22:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Upps, da bist du etwas über das Ziel hinaus geschossen.
Ich meinte folgendes: O(r)=2*pi*r² + 2*pi*r*(1000/pi*r²) = Du kannst am Bruch kürzen: Dieses O(r) ist keine 0.
Und jetzt müssen wir uns noch mal an die Aufgabe erinnern:
Das bedeutet, dass wir für Deckel und Boden den Faktor 1, für den Mantel den Faktor 2 hinzufügen müssen.
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| 05.03.2013, 22:21 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose
ja so sieht das auch mir vertrauter aus verstehe vollkommen dein Rechenweg so jetzt beim einsetzten des faktors 1 und 2. O(r)=1*(2*pi*r²)+2*(2000/r) |
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| 05.03.2013, 22:27 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Richtig.
Kannst du jetzt ableiten?
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| 05.03.2013, 22:30 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Nein weil eine Variabel unterm Bruchstrich steht O(r)=1*(2*pi*r²)+2*(2000/r) ^ | Ich müsste etwas anwenden damit ich r nach oben bringen kann aber was nur
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| 05.03.2013, 22:33 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Da helfen die Definitionen zu den Potenzen: Schreiben wir unsere Funktionsgleichung also mal so auf:
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| 05.03.2013, 22:37 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Wenn wir dich als Mathelehrer hätten
wahnisinn Danke schonmal bis hier her 
.So jetzt kann ich ja ableiten und dann kommt bei mir raus O(r)=4*pi*r-4000*r^-2 |
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| 05.03.2013, 22:41 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Sehr schön.
Jetzt die Ableitung Null setzen, umformen und r ausrechnen.
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| 05.03.2013, 22:48 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose
endlich mal was richtig XD hehe so also wenn ich es 0 setzte dann sieht es ja so aus 0=4*pi*r-4000*r^-2 Normalerweise muss ich r^-2 allein stehen haben und die ganze Formel durch -4000 teilen das es dann so aus sieht ? Ich kenne sowas von der P-Q-Formel das x² immer allein stehen muss um sie anzuwenden. Also habe ich demnach das gemacht. 0=r^-2+4*pi*r/-4000 |
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| 05.03.2013, 22:53 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Die pq-Formel brauchen wir nicht, aber das r muss schon alleine stehen. Deiner Umformung kann ich nicht ganz folgen. 0=4*pi*r-4000*r^-2 4*pi*r = 4000*r^-2 | ·r² | :4 pi*r³ = 1000 Jetzt sollte der Rest klar sein.
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| 05.03.2013, 23:00 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ok das habe ich verstanden stimmt klar jetzt ist r^3 positiv
also wenn ich jetzt pi * r^3=1000 ich bin wirklich überfragt ich kenne nur polynomdivesion oder p-q-Formel. Ich denke ich erhalte durch ein verfahren 3 Punkte ich weiß es wirklich nicht. bitte bitte helf mir 
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| 05.03.2013, 23:02 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose pi*r³ = 1000 | : pi r³ = 1000/pi Und jetzt einfach die dritte Wurzel ziehen.
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| 05.03.2013, 23:06 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ich erhalte 6,827840633 raus stimmt das denn überhaupt 
.und was gibt der Wert dann überhaupt an also was habe ich damit ausgerechnet 
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| 05.03.2013, 23:09 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ja, es ist richtig.
Du hast den Radius ( => r) des Zylinders bis in den Nanometerbereich genau errechnet...
Du darfst also gerne runden.
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| 05.03.2013, 23:17 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ich merke schon ich darf einsetzen und zwar in die HB dann heißt das doch O(r)=2*pi*(6,828)²+2*pi*(6,828)*(1000/pi*6,828²) ich erhalte hier für O(r)=585,844 cm² ? |
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| 05.03.2013, 23:20 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Da hast du jetzt nicht die Kosten berücksichtigt, d.h. du musst die Mantelfläche noch mit 2 multiplizieren. Außerdem sollte noch h ausgerechnet werden.
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| 05.03.2013, 23:26 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose omg das wird ja immer komplexer 
Habe jetzt O(r)=2*pi*(6,828)²+2*(2*pi*(6,828)*(1000/pi*6,828²)) O(r)=878,755 cm² haha so also wenn ich h ausrechnen möchte müsste ich r einsetzten aber h einfach stehen lassen ungefähr so 
O(r)=2*pi*(6,828)²+2*(2*pi*(6,828)*h) und jetzt wieder umformen das h alleine steht ? |
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| 05.03.2013, 23:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Du verlierst nur langsam den Überblick, das ist alles.
Für h gilt:
Einfach das r einsetzen und auflösen. Und um die Kosten auszurechnen hätte es auch diese Gleichung getan: O = 2*pi*r² + 2*2*pi*r*h Andernfalls hättest du hier wiederum erst kürzen müssen: O(r)=2*pi*(6,828)²+2*(2*pi*(6,828)*(1000/pi*6,828²)) => O(r)=2*pi*6,828²+2*2*1000/6,828 = O(r)=2*pi*6,828² + 4000/6,828
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| 05.03.2013, 23:42 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Also das ergebniss der Textaufgabe ist 878,755 GE/cm² ??
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| 05.03.2013, 23:44 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Die Kosten für eine Dose betragen 878,755 GE.
Und wenn du die Höhe richtig ermittelt hast wirst du r = h erkannt haben.
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| 05.03.2013, 23:49 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose
Wow du bist der knaller ohne dich hätte ich das niemals hinbekommen eine letzte Frage und zwar wenn die Höhe richtig ermittelt hast wirst du r=h erkannt haben ???? ist das die Probe können wir das zu guterletzt durchführen Bitte
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| 05.03.2013, 23:51 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Ich meine, beide sind 6,828 cm groß.
1000/pi*6,828² = h h = 6,828
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| 05.03.2013, 23:54 | FelixbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Extremwertaufgabe zylinder Dose Heftig das ist mir garnicht aufgefallen sehr interessant das die genau exakt gleich ist du bist echt der Hammer, "ich hebe meinen Hut vor dir " und sage: "vielen vielen Danke für die ausführliche Erklärung und Darstellung der Extremaufgabe."
GIbt es eine möglichkeit diese Aufgabe mithilfe einer Probe zuüberprüfen ? |
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