Lipschitz

06.03.2013, 08:05

Viriditas

Lipschitz

Hallo, ich habe eine Frage zu dem Beweis in dieser PDF-Datei auf Seite 10 (Beispiel drei):
http://homepage.univie.ac.at/harald.renn.../analysis_2.pdf

Wie komme ich in der letzten Zeile auf den Wert für x, y < 1/4L² ?

Danke im Voraus!

06.03.2013, 08:43

lgrizu

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RE: Lipschitz
Das kann nicht dein Ernst sein, oder?

Du verlinkst ein 116 Seiten langes Skript und weist auf Seite 10 hin und hast Fragen zur Lipschitzstetigkeit...

Seite 10 behandelt jedoch Eigenschaften des Riemann Integrals....

Offenkundig meinst du Seite 8 des Skriptes, Beispiel 3....

Mach dir ruhig die Mühe, das sauber in Latex aufzuschreiben und deine Frage zu formulieren, ich finde die Anfrage so für jeden Halfer unzumutbar....

06.03.2013, 09:02

Viriditas

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Entschuldigung, es ist Seite 10 in der PDF-Datei, Seite 8 laut Seitennummerierung im Skript.

Hier nochmals das Beispiel:

Edit lgrizu: Datei angehängt, bitte vermeide Links zu externen Hosts, du kannst deine Dateien direkt im Board hochladen

[attach]28885[/attach]

06.03.2013, 09:40

lgrizu

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Zitat:

Original von Viriditas
Entschuldigung, es ist Seite 10 in der PDF-Datei, Seite 8 laut Seitennummerierung im Skript.

Bei einem Buch zählt man den Einband auch nicht mit, sondern richtet sich ausschließlich nach der angegebenen Seitenzahl.....

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+ \sqrt{y} \geq \frac{1}{L} \end{eqnarray*}$ ist nur erfüllt, wenn gilt $\begin{eqnarray*} x,y \geq \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x,y < \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+ \sqrt{y} < \sqrt{\frac{1}{4L^2}}+ \sqrt{\frac{1}{4L^2}}=\frac{1}{2L}+ \frac{1}{2L}=\frac{1}{L} \end{eqnarray*}$

Also: Für $\begin{eqnarray*} x,y < \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+ \sqrt{y} \not\geq \frac{1}{L} \end{eqnarray*}$ , bedeutet $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+ \sqrt{y} < \frac{1}{L} \end{eqnarray*}$

Es gibt also keine feste Lipschitz Konstante....

06.03.2013, 09:47

Che Netzer

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Zitat:

Original von lgrizu
Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+ \sqrt{y} \geq \frac{1}{L} \end{eqnarray*}$ ist nur erfüllt, wenn gilt $\begin{eqnarray*} x,y \geq \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt nicht, aber zumindest eine der beiden Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \frac1{4L^2} \end{eqnarray*}$ oder größer sein.

06.03.2013, 09:51

Viriditas

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Zitat:

Original von lgrizu
Bei einem Buch zählt man den Einband auch nicht mit, sondern richtet sich ausschließlich nach der angegebenen Seitenzahl.....

Richtig, aber bei einer PDF-Datei gibt es die Funktion, die Seitenzahl des Dokuments sofort aufzurufen, indem man sie einfach eintippt. Das spart Zeit, deshalb so angegeben. Aber gut...

Dass die Ungleichung dann nicht erfüllt ist, habe ich schon verstanden.
Was mir unklar ist: Wie komme ich gerade auf den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ ?

Danke schonmal für eure Hilfe!

06.03.2013, 11:59

lgrizu

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von lgrizu
Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}+ \sqrt{y} \geq \frac{1}{L} \end{eqnarray*}$ ist nur erfüllt, wenn gilt $\begin{eqnarray*} x,y \geq \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{16L^2} < \frac{1}{4L^2} \end{eqnarray*}$ , dann ist die Ungleichung mit Sicherheit nicht erfüllt, wie man leicht nachrechnen kann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2L}+\frac{1}{4L}=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{L} \not\geq \frac{1}{L} \end{eqnarray*}$ .

@Viriditas

Einfach abschätzen oder genau hinsehen

06.03.2013, 13:03

RavenOnJ

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@Igrizu
Che meinte vermutlich, dass es nicht notwendig ist, dass $\begin{eqnarray*} x,y\ge\frac 1 {4L^2} \end{eqnarray*}$ , denn eine der beiden Größen kann deutlich größer als $\begin{eqnarray*} \frac 1{4L^2} \end{eqnarray*}$ sein.

Davon unberührt bleibt natürlich der wesentliche Punkt, dass aus $\begin{eqnarray*} x,y<\frac 1 {4L^2} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt x + \sqrt y < \frac 1 L \end{eqnarray*}$ .

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