DGL: Problem beim Koeffizientenvergleich

19.02.2007, 21:13

Basti79

DGL: Problem beim Koeffizientenvergleich

Ich, ich sitze gerade bei einer Aufgabe fest und brauche nun Eure Hilfe. Das Problem sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} y^{''}-3y^{'}+2y=e^{2x} \end{eqnarray*}$

-> homogen:
$\begin{eqnarray*} \lambda ^2-3\lambda +2=0 \Rightarrow \lambda_{1/2} =-\frac{3}{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Also: einfache Nullstelle, -> allgemein:

$\begin{eqnarray*} y(x)=c_{1}e^{ \lambda_{1}x} + c_{2} e^{\lambda_{2}x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha+i \beta =2 \Rightarrow \alpha =2;\beta =0 \end{eqnarray*}$ also gibt es keine Resonanz, dei partikuläre Lösung lautet also:

$\begin{eqnarray*} y_0 =ae^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_0^{'} = (1+2a)e^{2x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_0^{''} = (3+4a)e^{2x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt das Problem, beim Koeffizientenvergleich erhalte ich nämlich $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

Und ohne ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann ich den Spass ja nicht zu Ende führen! Kann irgendjemand meinen Fehler finden?

Gruß

Basti

19.02.2007, 21:19

Harry Done

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Würde eher mit einer anderen partikulären Lösung da ansetzen, was hälst du von:

$\begin{eqnarray*} y_p(x)=(ax^2+bx+c)e^{2x} \end{eqnarray*}$

schließlich kann bei der zweite Ableitung ja auch a ohne ein x davor stehen.

Gruß Jan

19.02.2007, 21:23

yeti777

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@Harry: Nein, ich denke, der Beginn mit der homogenen DGL ist schon richtig.

@Basti: Du hast einen Fehler in der Auflösung der charakteristischen Gleichung.

Gruss yeti

19.02.2007, 21:31

Basti79

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So, erstmal danke für die schnellen Hilfen.
Habs nochmal durchgerechnet, der eizige Fehler, den ich finden kann, ist das Vorzeichen bei der p/q-Formel.
Da sollte es wohl

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2} =\frac{3}{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ heißen.

Allerdings bräuchte ich einen kleinen Tip, was ich beim Auflösen denn falsch gemacht habe verwirrt

Gruß
Basti

19.02.2007, 21:38

yeti777

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!

Ich nehme an, du hast ganz einfach die pq-Formel falsch verwendet.

Ich selber brauche die Formel nie, ist mir zu schwierig Augenzwinkern

. Ich mach's immer mit der quadratischen Ergänzung.

Was ergibt sich nun für $\begin{eqnarray*} \lambda _1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _2 \end{eqnarray*}$ und damit für die allgemeine Lösung der homogenen DGL?

Gruss yeti

19.02.2007, 22:52

Harry Done

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@yeti777

Ich check das nicht ganz, als partikulären Ansatz muss man hier doch Qmindestens: $\begin{eqnarray*} y_p(x)=(ax+b)e^{2x} \end{eqnarray*}$ wählen.
Oder geht es hier nur um die homogene Lösung?

@basti:

Bei deiner pq-Formel kommt ja ganz einfach $\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ raus, wenn man beide Werte ausrechnet, damit kannst du ja die homogene Lösung angeben.

19.02.2007, 22:54

Basti79

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Irgendwie raff ichs nicht.
Wenn ich quadratisch ergänze komme ich immer wieder auf

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}= \frac{3}{2} \pm \sqrt{i2} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kommt mir das spanisch vor...

19.02.2007, 22:59

derkoch

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$\begin{eqnarray*} (\lambda)^2-3\lambda+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda)^2-3\lambda+2,25-2,25+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda-1,5)^2-0,25=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda-1,5)^2=0,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2}= \pm 0,5 +1,5 \end{eqnarray*}$

19.02.2007, 23:08

Basti79

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Zitat:

Original von Harry Done
@yeti777

Ich check das nicht ganz, als partikulären Ansatz muss man hier doch Qmindestens: $\begin{eqnarray*} y_p(x)=(ax+b)e^{2x} \end{eqnarray*}$ wählen.
Oder geht es hier nur um die homogene Lösung?

@basti:

Bei deiner pq-Formel kommt ja ganz einfach $\begin{eqnarray*} \lambda_1=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ raus, wenn man beide Werte ausrechnet, damit kannst du ja die homogene Lösung angeben.

1 und 2 hört sich sehr gut an. Aber wie kommst Du darauf? ich schreib meine Lösung mal Schritt für Schritt hin:
$\begin{eqnarray*} p = -3; q = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}= -(\frac{-3}{2}) \pm \sqrt{ (\frac{-3}{2})^2 -2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -(\frac{-3}{2}) \pm \sqrt{ \frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Ohhh Gott!
Nach dem 100. mal schreiben sehe ich es nun auch.... $\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ sollte wohl 1/2 sein....

19.02.2007, 23:14

derkoch

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Zitat:

für die homogene DGL brauchst du doch keinen "Ansatz", die kannst du ja so lösen!
für die Partikuläre Lösung brauchst du den Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y_p= Ax\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

19.02.2007, 23:31

Basti79

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So,
mit den richtigen Nullstellen bin ich nun auf eine einfache Resonanz gekommen und konnte die DGL somit lösen.
Als Ergebnis habe ich

$\begin{eqnarray*} y(x)= c_1 e^x + (c_2 +x) e^{2x} \end{eqnarray*}$

Ich möchte mich bei allen für die schnelle Hilfe zu so später Stunde bedanken und denke, daß etwas mehr Routine reinkriegen sollte, um solche dummen Fehler zu vermeiden.

Gruß & eine gute Nacht

Basti

19.02.2007, 23:38

derkoch

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Zitat:

Original von Basti79
Als Ergebnis habe ich

$\begin{eqnarray*} y(x)= c_1 e^x + (c_2 +x) e^{2x} \end{eqnarray*}$

Basti

20.02.2007, 08:17

Harry Done

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Ja, mir war schon klar dass man für die homogene Lösung keinen Ansatz brauch. das meinte ich auch nicht, deswegen habe ich ja auch die lambdas nochmal hingeschrieben. Ich sprach die ganze Zeit von der partkulären Lösung.
Ich habe jetzt gesehen, dass mein Ansatz ja einfach nur doppelt gemoppelt ist weil das b in $\begin{eqnarray*} (ax+b)e^{2x} \end{eqnarray*}$ ja schon eines der C's in der homogenen Lösung ist. Rechnerisch kam ich nämlich auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y(x)=(x-1)e^{2x}+C_1e^{2x}+C_2e^x \end{eqnarray*}$

und dann ist $\begin{eqnarray*} C_1-1 \end{eqnarray*}$ Bastis $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$

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