Bogenlänge in Polarkoordinaten

06.03.2013, 11:19	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge in Polarkoordinaten Hallo zusammen, ich grübel gerade an folgender Aufgabe: Betrachtet sei die Funktion $\begin{eqnarray} r(\phi)=ae^{-\phi} \end{eqnarray}$ Es sollen die längen $\begin{eqnarray} l_k \end{eqnarray}$ der Schaubilder über $\begin{eqnarray} [0,k\pi] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k=1, 2, 3 .... \end{eqnarray}$ und schließlich die Länge $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \to \infty \end{eqnarray}$ berechnet werden Ich hab mir aus meinem Mathebuch jetzt folgende Formel raus gesucht: $\begin{eqnarray} l=\int_{\phi_1}^{\phi_2} \! \sqrt{{r^2} + {(\dot r)^2}} \, d \phi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r=e^{-\phi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \dot r=-e^{-\phi} \end{eqnarray}$ alles eingestzt schauts so aus: $\begin{eqnarray} l_1=\int_{0}^{\pi} \! \sqrt{{a^2* e^{-2\phi}} + {a^2e^{-2\phi}}} \, d \phi = \int_{0}^{\pi} \! \sqrt{2{a^2 e^{-2\phi}} } \, d \phi = \sqrt{2}a \int_{0}^{\pi} \! e^{-\phi} \, d \phi= -\sqrt{2} a e^{\pi} + \sqrt{2} a e^{-0} = -\sqrt{2} a( e^{-\pi}-1) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} k=2,3, ... \to \infty \end{eqnarray}$ wäre es ja kein großer Unterschied. Ist das richtig so ?
06.03.2013, 11:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung ist ok. Es handelt sich um eine Schneckenkurve. In der Tat werden die zentrumnahen Windungen der Schneckenkurve immer kleiner und damit kürzer. Das kann man sich gut vorstellen. Für $\begin{eqnarray} \phi \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ ergibt sich die Gesamtlänge $\begin{eqnarray} L=\sqrt{2}a\cdot \lim_{k \to \infty} \left ( 1-\tfrac{1}{exp(k\pi)}\right )=\sqrt{2}a \end{eqnarray}$ . Dies ist das $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ -fache des äußeren Radius a der Schnecke.
06.03.2013, 12:48	Ingi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für die schnelle Antwort

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