Ausklammern

06.03.2013, 12:40

L.A.

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Ausklammern

Hi, habe folgendes Problem: Ich soll diese Terme ausklammern:

$\begin{eqnarray*} x^{3} - 2x^{2} - x + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^{3} - 6x^{2} - 2x -6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

allerdings bekomme ich es nicht hin!! Ich weiß gar nicht, wie man es macht oder wie man es anfängt!! Beispiel:

$\begin{eqnarray*} x^{4} - x^{3} - 6x^{2} = x^{2} (x+2) (x-3) \end{eqnarray*}$

Gut macht Sinn! Ausmultiplizieren krieg ich hin - bekomme dann wieder die Funktion raus! Aber den umgekehrten Weg fällt mir schwer! Kann mir einer Tipps geben?? Oder diese Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

zusammen machen? smile

smile

Bei dieser Aufgabe kann ich ja kein X rausziehen wegen der 40 .. :/

06.03.2013, 12:43

Equester

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Mach eine Linearfaktorzerlegung. Sprich suche die Nullstellen.
Polynomdivision ist oft das geeignete Mittel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Probiers mal bei ersterem.

06.03.2013, 12:50

conlegens

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RE: Ausklammern
Im 1. Fall könntest du x^2 aus den ersten beiden Termen und -1 aus dem Rest ausklammern:

= $\begin{eqnarray*} x^2(x-2)-(x-2) \end{eqnarray*}$

dann kannst du (x-2) ausklammern ...

06.03.2013, 12:58

L.A.

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Durch was soll ich denn teilen? bei der Polynomdivision brache ich ja was wodurch ich die fkt teile

06.03.2013, 13:02

L.A.

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RE: Ausklammern

Zitat:

Original von conlegens
Im 1. Fall könntest du x^2 aus den ersten beiden Termen und -1 aus dem Rest ausklammern:

= $\begin{eqnarray*} x^2(x-2)-(x-2) \end{eqnarray*}$

dann kannst du (x-2) ausklammern ...

Aso, ich kann die Funktion trennen? dachte ich müsste die komplett "umformen"

06.03.2013, 13:04

Equester

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Zu ersterem: Ja, du musst eine Nullstelle erraten.

Zu letzterem: Du bist auch noch nicht fertig. Es wurde aufgetragen, (x-2) noch auszuklammern.

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06.03.2013, 13:05

L.A.

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also ist das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

einfach: $\begin{eqnarray*} x^{2} (x^{2} - 6x + 6) + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

?

edit:

Zu letzterem: Du bist auch noch nicht fertig. Es wurde aufgetragen, (x-2) noch auszuklammern.[/quote]

$\begin{eqnarray*} x^{2} * (x-2) - (x-2) \end{eqnarray*}$

wenn ich x-2 noch ausklammer dann:

$\begin{eqnarray*} x^{2} * 1 - 1 * (x-2) \end{eqnarray*}$

? smile

smile

06.03.2013, 13:07

conlegens

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RE: Ausklammern
Du darfst immer und überall ausklammern, wenn es sinnvoll ist und du es richtig machst.

06.03.2013, 13:11

Equester

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Zu deinem Edit: Es fehlt die Klammer!

$\begin{eqnarray*} \color{red}(\color{black}x^{2} * 1 - 1\color{red})\color{black} * (x-2) \end{eqnarray*}$

Das kannst du dann auch so stehen lassen, denke ich.
Vllt willst du noch den dritten Binomi auschreiben (wäre meine Wahl) x²-1=(x+1)(x-1).

Zu ersterem: Das ist zwar nicht falsch, aber wir haben immer noch eine Summe.
Normal wird bei "ausklammern" gefordet, den Ausdruck als Produkt zu schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Hast du einen anderen Vorschlag?
"Siehst" du nichts, nutze die Polynomdivision.

06.03.2013, 13:15

L.A.

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$\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} (x^{2} - 6x + 6) + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} x^{2} (x^{2} - 6x) + x (6x+24) - 40 \end{eqnarray*}$

Ich meine aber, dass Ziel muss sein, nur Multiplikation zu haben!! :S

Das sind die Nenner bei einer Partialbruch Aufgabe und später müsste ich noch kürzen.. so geht es ja noch nicht wirklich oder?

06.03.2013, 13:17

Equester

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Wie ich schon sagte...wer nichts "sieht", der muss die Polynomdivision bemühen.
Versuch dich dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.03.2013, 13:18

L.A.

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$\begin{eqnarray*} (x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40) : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x+1) \end{eqnarray*}$

? Ich fange immer mit x+1 an beim raten??

06.03.2013, 13:23

Equester

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Das ist gut. Aber wenn du rätst (hier ja wohl x=-1) muss das Polynom 0 ergeben.
Ist das für das Polynom der Fall? Eher nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Probiere also weitere Zahlen aus, bis das Polynom 0 ergibt.

06.03.2013, 13:29

L.A.

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Ich habe (x-1) und (x+2) ausprobiert. Klappt nicht. Wenn ich in der Klausur 5 Aufgaben davon bekomme und raten muss - geht zuviel Zeit drauf. Ich sollte lieber das "sehen" trainieren.

06.03.2013, 13:34

Equester

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(x+2) sollte aber klappen...

Und wenn du keine Polynomdivision kannst, und blöderweise auch nichts siehst, ist Ende Gelände.
Polynomdivision sollte in der Schule eigentlich immer ein Lösungsmittel sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.03.2013, 13:44

L.A.

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ok Chef, bei (x+2) klappt es doch:

$\begin{eqnarray*} x³-8x²+22x+20 \end{eqnarray*}$

aber da sehe ich auch nichts Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x (x²-8x+22) +20 \end{eqnarray*}$

06.03.2013, 13:52

Equester

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Du siehst nichts? Dann heißt es wohl wieder Polynomdivision.
Probier es mit (x-2) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Allerdings hast du einen Vorzeichenfehler beim letzten Summanden. Da muss es -20 lauten Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

06.03.2013, 14:11

L.A.

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$\begin{eqnarray*} x³-8x²+22x-20 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} x²-6x-10 \end{eqnarray*}$

06.03.2013, 14:23

Equester

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Iwie scheinst du es mit dem letzten Summanden nicht zu haben verwirrt

verwirrt

.
Hier ist wiederum das Vorzeichen verdreht.

Was wir daraus nun erfahren haben:
$\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40=(x-2)(x+2)(x²-6x+10) \end{eqnarray*}$

Klar? Probiere nun noch den quadratischen Term zu faktorisieren. Geht das? Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.03.2013, 14:52

L.A.

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$\begin{eqnarray*} x²-6x+10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x (x-6) + 10 \end{eqnarray*}$

06.03.2013, 15:08

Equester

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Das ist zwar richtig, aber bringt jetzt nicht sonderlich viel Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Mit der pq-Formel kannst du untersuchen, ob es Nullstellen gibt.

06.03.2013, 15:21

L.A.

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$\begin{eqnarray*} - 3 \pm i \end{eqnarray*}$

06.03.2013, 15:23

Equester

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So ist es. Deswegen würde ich es wohl bei $\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40=(x-2)(x+2)(x²-6x+10) \end{eqnarray*}$ belassen.

06.03.2013, 15:26

L.A.

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Gibt es beim Raten einen Trick oder einfach immer bei (x+1) anfangen? Kann man irgendwas "sehen"? Big Laugh

Big Laugh

06.03.2013, 15:34

Equester

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Man kann in der Tat was sehen.

Schau dir dafür das Absolutglied an. Haben wir eine ganzzahlige Nullstelle, so ist dies auch ein Teiler des Absolutgliedes.

$\begin{eqnarray*} x^{4} - 6x^{3} + 6x^{2} + 24x - 40 \end{eqnarray*}$

Das ist hier zwar dennoch recht viel (wenn wir uns die 40 anschauen), aber immerhin schränkt es die Wahl ein.
Probieren musst du dann nur noch die Teiler. Anfangen würde ich mit -1 und 1, auch wenn diese hier nicht zum Ziel führen, aber gleich -2 und 2 sind Teiler die das Polynom zur 0 führen.

06.03.2013, 15:40

L.A.

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also alles was durch 40 Teilbar ist dann nehmen?? x-3 oder x+3 würde dann nie funktionieren?

06.03.2013, 15:45

L.A.

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$\begin{eqnarray*} (x³ - 2x² - x - 2) : (x+1) = x² - 3x + 2 \end{eqnarray*}$

pq-Formel: Nullstellen bei 2 und 1

=> (x+1) (x+2) (x+1) ??

06.03.2013, 15:46

Equester

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Yup, die Nullstellen x=3 und x=-3 brauchst du nicht zu untersuchen, da es sie für unser Polynom nicht gibt, da kein Teiler des Absolutgliedes.

06.03.2013, 15:49

Equester

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} (x³ - 2x² - x - 2) : (x+1) = x² - 3x + 2 \end{eqnarray*}$

pq-Formel: Nullstellen bei 2 und 1

=> (x+1) (x+2) (x+1) ??

Es heißt wohl: $\begin{eqnarray*} (x³ - 2x² - x \color{red}+\color{black} 2) : (x+1) = x² - 3x + 2 \end{eqnarray*}$

Dann würde der Teil stimmen. Die Nullstellen des quadratischen Terms passen allerdings nicht. Warum +1?
Du hast wohl bei der pq-Formel ein Vorzeichen nicht beachtet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

pq-Formel: Nullstellen bei 2 und 1

=> (x+1) (x+2) (x+1) ??

Deine Schlussfolgerung passt übrigens auch nicht -> Positive Nullstellen nennst du und schreibst (x+2) und (x+1) verwirrt

verwirrt

.

06.03.2013, 16:00

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{8}{4} } \end{eqnarray*}$

das Minus vor der pq-Formel wird ja zum Plus da...

= 2 und 1

06.03.2013, 16:05

Equester

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Verzeih, du hast recht.
Hatte mich verguckt.

Ändert aber nichts an meiner letzten Aussage -> Die Interpretation ist falsch.
Es heißt doch x=1 bzw. x=2, wie also müssen die Faktoren aussehen, damit das Produkt 0 wird?

x³ - 2x² - x + 2=(x+1)(x?1)(x?2)

06.03.2013, 16:08

L.A.

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x³ - 2x² - x + 2=(x+1)(x-1)(x-2)

also wenn man bei der pq-Formel etwas Positives rausbekommt dann ist es - in der Faktoriesierung und bei einem negativem Wert dann + ?? genau umgekehrt diese "interpretation"

06.03.2013, 16:09

Equester

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Naja, die Interpretation ist wie du es sagst^^.
Umgekehrt ist es wie du es gemacht hast und damit falsch :P.

Aber ja, ansonsten triffts den Kern^^.

06.03.2013, 16:14

L.A.

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warte mal... die ganzen Aufgaben sind immer so:

$\begin{eqnarray*} \frac{2x-4}{x³-2x²-x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2} \end{eqnarray*}$

Ich soll A,B,C bestimmen. Die Nullstellen sind ja schon gegeben ? ohje ich Depp! Wusste bei der PBZ nur, dass man es selber machen muss! Aber hier hat man ja alles! Egal trotzdem vieles wieder aufgefrischt / Dazugelernt smile

smile

06.03.2013, 16:18

Equester

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^^ Da braucht es in der Tat keine Berechnung der Nullstellen, da dies schon vorgegeben ist.
Oft wird aber verlangt den Ansatz auf der rechten Seite selbst zu bestimmen. Dann muss man auch die Nullstellen des Nenners bestimmen können!

06.03.2013, 16:25

L.A.

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$\begin{eqnarray*} <br /> = A (x+1) (x-2) + B (x-1) (x-2) + C (x-1) (x+1)<br /> <br /> = Ax² - 2Ax + Ax - 2A + Bx² - 2Bx - Bx + 2B + CX² - C<br /> <br /> A + B + C = 0<br /> -A -3B = 2<br /> -2A + 2B - C = -4<br /> \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?!

06.03.2013, 16:34

Equester

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Yup, das passt Freude

Freude

.

06.03.2013, 16:57

L.A.

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A = 1
B = -1
C = 0

06.03.2013, 17:02

Equester

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Auch das ist richtig Freude

Freude

.

06.03.2013, 17:11

L.A.

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$\begin{eqnarray*} \frac{8x+24}{2x³+6x²-2x-6} \end{eqnarray*}$

Könntest du das noch überprüfen?

A = 4
B = -4
C = 0

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