Basiswechsel

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Basiswechsel
Meine Frage:
Hallöchen zusammen. Ein Problemchen mit Aufgäbchen mit dem Basiswechsel

Betrachten Sie die folgenden Operationen in , mit Standardbasis

A: Streckung der 1-Achse um den Faktor s1=0,5 und der 2-Achse um den Faktor s2=4

B: Rotation um den Winkel

C:Vertauschung der beiden Achsen.

a) Finden Sie die Matrixdarstellungen (bezüglich der Standardbasis) von A, B und C. Hilfe: Überlegen Sie sich dazu, wie A, B, C auf e1 und e2 wirken.

b)Was ist das Bild des Vektors unter der Transformation AB?

c)Sei eine Basistransformation von der Standardbasis zu einer neuen Basis, die den Vektor x abbildet auf Finden Sie die Darstellung C' von C in der neuen Basis.

Meine Ideen:
Also a) verstehe ich noch halbwegs d.h. doch:







Bei b) Würde ich so vorgehen: Also das Bild ist ja die Zielmenge aller Elemente, die getroffen werden. D.h. ich rechne AB aus bzw. Löse das LGS ?

Bei c) bin ich verwirrt, weil ich nicht weiß was genau was ist und was ich überhaupt machen muss unglücklich ?

Danke an Euch Leute, Ihr macht einen tollen Job.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (a) ist Dein nicht ganz richtig. Mach Dir mal mit einer Skizze klar, dass für einen Winkel die Drehmatrix ist.

Zu (b): Du kennst doch und sollst berechnen, d.h. einfach ausrechnen. Augenzwinkern Das LGS wie von Dir beschrieben zu Lösen, würde Dir Urbilder von unter liefern.

Zu (c): Ist die Standardbasis, so ist die neue Basis. Nun geht es darum, die Matrix in der Darstellung der transformierten Basis zu berechnen, d.h. .
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen Winkel haben wir dann die Drehmatrix .

Richtig bevor ich ein falsches LGS lösen Big Laugh

Was mir aber komisch vorkommt ist, dass aus der II Zeile folgt dass und aus der ersten
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du gelesen, was ich geschrieben habe? unglücklich Bei b) gibt es kein LGS zu lösen! Du hast und gegeben und sollst ausrechnen.
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Womanpower
Für den Winkel ist die Drehmatrix .

aber richtig ?

Und was ist jetzt genau C und C' bei der Aufgabe c)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Du hast gerechnet. Zur (c) hatte ich schon geschrieben:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zu (c): Ist die Standardbasis, so ist die neue Basis. Nun geht es darum, die Matrix in der Darstellung der transformierten Basis zu berechnen, d.h. .
 
 
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Womanpower
Für den Winkel ist die Drehmatrix .


Es ist ja mal x und was ist denn hier das x ? Das habe ich doch gar nicht multipliziert ?

Und die Basistransformation verstehe ich irgendwie auch nicht

Zitat:
Original von Womanpower

Und was ist jetzt genau C und C' bei der Aufgabe c)


mit dem

Und

Ich muss das Inverse von B bilden mal C und was ist C ? Und mal B ? Nur weiß ich nicht was was genau ist, deswegen kann ich es nicht machen unglücklich
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Womanpower
Es ist ja mal x und was ist d
enn hier das x ? Das habe ich doch gar nicht multipliziert ?

Ja, aber genau das sollst Du machen:


Zitat:
Original von Womanpower
Ich muss das Inverse von B bilden mal C und was ist C ? Und mal B ? Nur weiß ich nicht was was genau ist, deswegen kann ich es nicht machen unglücklich


Auch das habe ich bereits vollständig oben aufgeschrieben:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zu (c): Ist die Standardbasis, so ist die neue Basis. Nun geht es darum, die Matrix in der Darstellung der transformierten Basis zu berechnen, d.h. .

Die Matrizen sind natürlich die in der Aufgabe schon gegebenen.
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »



So müsste es stimmen ?
Der Basiswechsel macht mich aber noch zu schaffen...

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Zu (c): Ist die Standardbasis, so ist die neue Basis. Nun geht es darum, die Matrix in der Darstellung der transformierten Basis zu berechnen, d.h. .

Die Matrizen sind natürlich die in der Aufgabe schon gegebenen.[/quote]

B und C sind gegeben, okay. B ist aber für den Winkel gegeben ?

Letztendlich steht in dem Zitat, dass ich folgendes machen muss:
Zitat:
Original von zweiundvierzig
...d.h. .


Also ist das was zu tun ist B invertieren mit C multiplizieren und mit B multiplizieren und das ist ja C'.
Ich verstehe nicht welchen Bezug S und S' auf die Formel hat:

ist die Standardbasis klar. Und die neue Basis ? Und wie bekommt man diese, indem man die Standardbasis mit was multipliziert ? Und welche Stelle nimmt dann unser für die Formel ein ?:

Wo ist da der Zusammenhang ?

Thank you very much and everybody else Augenzwinkern
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Womanpower


So müsste es stimmen ?

[...]

B und C sind gegeben, okay. B ist aber für den Winkel gegeben ?

Ja und ja.

Zitat:
Original von Womanpower
ist die Standardbasis klar. Und die neue Basis ? Und wie bekommt man diese, indem man die Standardbasis mit was multipliziert

Na, Basen kann man nicht mit irgendwas multiplizieren. Man kann aber die Matrix auf die Elemente aus anwenden und dann erhält man eine neue Basis, hier genannt.


Zitat:
Original von Womanpower
Und welche Stelle nimmt dann unser für die Formel ein ?:

Wo ist da der Zusammenhang ?

Es ist diejenige Matrix, welche die Vektoren aus in Koordinaten der Basis darstellt, man schreibt auch . Da die Standardbasis ist, stehen die Vektoren aus in den Spalten von einfach unverändert da. Für das Inverse gilt . Nun ist als Basisdarstellung einer linearen Abbildung zur Standardbasis gegeben, d.h. . Insgesamt ist dann .
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Es ist diejenige Matrix, welche die Vektoren aus in Koordinaten der Basis darstellt, man schreibt auch . Da die Standardbasis ist, stehen die Vektoren aus in den Spalten von einfach unverändert da. Für das Inverse gilt . Nun ist als Basisdarstellung einer linearen Abbildung zur Standardbasis gegeben, d.h. . Insgesamt ist dann .


Das leuchtet alles noch nicht ganz auf, aber es brennt ein kleines Lichtlein der Hoffnung Big Laugh

Also die Aufgabenstellung lautete:
Sei eine Basistransformation von der Standardbasis zu einer neuen Basis, die den Vektor x abbildet auf Finden Sie die Darstellung C' von C in der neuen Basis.

Also ist eine Basistransformation von der Standardbasis zu einer neuen Basis (Basiswechsel)

d.h. der Vektor wird abgebildet auf

Gesucht ist nun aber die Darstellung C' von C in der neuen Basis.

Also suchen wir die Matrix die in der Basis dargestellt wird ? Richtig ? Aber wozu brauchen wir dann die Matrix ? Außerdem, was das damit zu tun hat ist mir noch fragwürdig, bzw. was es genau bedeutet.

Letzenendes brauchen wir aber nur die Formel für unsere Aufgabe



Also



Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir einer bitte mir Rat & Tat bei Seite stehen und mal kurz Drüberschauen. Wäre wirklich sehr nett smile
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte traurig
deadbysunrise148 Auf diesen Beitrag antworten »

liege ich richtig in der annahme, dass das eine aufgabe aus der mathmeth klausur der uni köln ist? ^^

A hast du richtig
B= (cos pi/2 -sin pi/2)
sin pi/2 cos pi/2

C= ( 0 1)
1 0

(wahr jetzt zu faul das richtig zu schreiben, so sollte das auch sinn machen Augenzwinkern )


bei der c) hab ich aber auch keinen plan
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ja es stimmt.. mir geht's aber um Aufgabenteil c) um die Basistransformation. Ob diese richtig ist ich verstehe sie nicht ganz
Womanpower Auf diesen Beitrag antworten »

Man weiß es nicht verwirrt
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