stochastische und fast-sichere Konvergenz bei abzählbarer Ergebnismenge

06.03.2013, 15:48

nore

stochastische und fast-sichere Konvergenz bei abzählbarer Ergebnismenge

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak A, \mathbb P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak A, \mathbb P) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die stoachstische Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ bereits die Konvergenz fast-überall impliziert, wenn wir voraussetzen, dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

Also in eigenen "Worten": Wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, dann folgt aus $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 : \lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb P (|X_n -X|>\epsilon ) =0 \end{eqnarray*}$ , dass es eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathfrak A \end{eqnarray*}$ von vollem Maß gibt, sodass die Folgen von ZVn auf dieser Menge punktweise konvergiert.

Meine Idee ist jetzt aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb P (|X_n -X|>\epsilon ) =0 \end{eqnarray*}$ zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb P( \lim_{n\rightarrow \infty} \{|X_n -X|>\epsilon\} ) =0 \end{eqnarray*}$ und daraus dann die gesuchte Menge zu konstruieren. Kann ich den Limes reinziehen?

Und wie würde es dann weitergehen? Ich möchte ja gerne etwas in folgender Art konstruieren: $\begin{eqnarray*} A =\Omega \backslash \bigcup_{\epsilon >0} \lim_{n\rightarrow \infty} \{|X_n -X|>\epsilon\} \end{eqnarray*}$

Diese Menge enthält nurnoch Elemente $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ für die gilt: $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0\in \mathbb N : X_n (a)-X(a) <\epsilon \forall n>n_0 \end{eqnarray*}$ . Zu klären wäre hier noch das volle Maß. Dazu hilft es vielleicht, nur bestimmte (rationale) $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu betrachten und die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Additivität auszunutzen:

$\begin{eqnarray*} A = \Omega \backslash \bigcup_{m=1}^\infty \lim_{n\rightarrow \infty} \{|X_n -X|>\frac 1 m \} \end{eqnarray*}$

Diese Menge hat volles Maß und auf ihr konvergiert die Reihe der ZVn punktweise. Kann aber gar nicht richtig sein, weil ich nirgends benutzt habe, dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank für jede Hilfe.

David

06.03.2013, 15:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von nore
Meine Idee ist jetzt aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty} \mathbb P (|X_n -X|>\epsilon ) =0 \end{eqnarray*}$ zu folgern, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb P( \lim_{n\rightarrow \infty} \{|X_n -X|>\epsilon\} ) =0 \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \mathbb{P}(|X_n -X|>\epsilon)=0 \end{eqnarray*}$ kann nicht mal gefolgert werden, dass der Mengenlimes $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \{|X_n -X|>\epsilon\} \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert. Und selbst wenn wir $\begin{eqnarray*} \lim \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ ersetzen, kann i.a. nicht gefolgert werden, dass dann $\begin{eqnarray*} P(\limsup_{n\to\infty} \{|X_n -X|>\epsilon\}=0 \end{eqnarray*}$ gilt - dazu gibt es Gegenbeispiele. unglücklich

06.03.2013, 16:20

nore

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Danke für den Link und den Hinweis.

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