Niveauflächen

06.03.2013, 16:43

telli

Niveauflächen

Meine Frage:
Hallo MatheBoard-Freunde,

Ich habe hier wieder mal eine Frage, die ich nicht ganz verstehe..

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 (x,y,z\in \mathbb R ) \end{eqnarray*}$ .
Für welche $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die durch die Gleichung
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=c \end{eqnarray*}$ definierte Teilmenge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ eine glatte Fläche? Wie sehen die entsprechenden Flächen aus?

Meine Ideen:
Also in der Definition steht, dass eine Fläche dann glatt ist, wenn die dazugehörige Differentialmatrix den Rang 2 hat.

Und schon hier geht es bei mir nicht weiter.. Fürs Differential bekomme ich $\begin{eqnarray*} D_{f(x,y,z)}=(2x, 2y, -2z) \end{eqnarray*}$ also eine 1x3 Matrix.. und die hat für mich schlicht den Rang 1??

Und wie soll ich das Ding denn zeichnen.. oh mann..

06.03.2013, 18:16

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

die Flächen sind einschalige Hyperbolide.
Ich habe gelesen, dass der Gradient der Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-c \end{eqnarray*}$ für eine glatte Funktion nicht $\begin{eqnarray*} (0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ sein darf.

Der Begriff Differentialmatrix ist ( mir ) nicht klar. Wie ist die Definition?

06.03.2013, 19:08

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

Halo Dopap

Danke für deine Antwort. Mit Differentialmatrix meinte ich einfach die Jacobimatrix. (Wobei 100% sicher bin ich mir nicht, ob man das so als Synonym benutzen darf.)

Wieso aber $\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-c \end{eqnarray*}$ ?
Das ist doch nicht die gleiche Funktion? c fliesst hier als eine Konstante in die Funktion.

Bei $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 \end{eqnarray*}$ ist aber c der Funktionswert also $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=c \end{eqnarray*}$

Also ich bekomme für den Gradienten:
$\begin{eqnarray*} grad(f(x,y,z)) = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ -2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
habe aber keine Ahnung wie es weiter geht..

06.03.2013, 19:43

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

nun hier :

http://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4che_(Mathematik)

steht, dass die Fläche definiert durch $\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$

der Gradient nicht der Nullvektor sein soll.

aus

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=c \end{eqnarray*}$ entsteht formal eine neue Funktion $\begin{eqnarray*} \underbrace {f(x,y,z)-c}_{:=g(x,y,z)}=0 \end{eqnarray*}$

wobei beide Gradienten natürlich gleich sind.

Die Jacobimatrix ist im Falle $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ wohl mit dem Gradienten identisch.

Über den Rang habe ich nichts gefunden. unglücklich

07.03.2013, 11:48

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn der Gradient nicht der Nullvektor ist, ist die Fläche glatt? Ich verstehe nicht so ganz was überhaupt eine "glatte Fläche" sein soll.. weiss nicht wie ich mir das vorstellen soll..

Der Gradient hängt ja in meinem fall gar nicht von c ab? Also:
$\begin{eqnarray*} grad(f(x,y,z)) = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ -2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das ist doch nur der Nullvektor wenn, x, y und z null werden.

Oder soll ich c als eine Funktion von x,y,z betrachten? So macht macht es ein bisschen mehr Sinn Big Laugh

07.03.2013, 13:35

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Niveauflächen

Zitat:

Original von telli

Also in der Definition steht, dass eine Fläche dann glatt ist, wenn die dazugehörige Differentialmatrix den Rang 2 hat.

Dabei geht es um Koordinaten auf der Fläche, nicht um die Koordinaten der Punkte, wenn die Fläche in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist. Deine Flächen werden als Untermannigfaltigkeiten des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ angesehen mit einem 2-dimensionalen lokalen Koordinatensystem. Es gibt aber eventuell Punkte auf der Fläche, denen man keine Koordinaten zuordnen kann. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn c=0 ist. Der Punkt (0,0,0) liegt dann auf der Fläche, man kann jedoch in einer Umgebung des Punktes kein Koordinatensystem auf der Fläche definieren, das jeden Punkt der Umgebung eindeutig parametrisiert. Für alle anderen $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ ist dies jedoch möglich.

07.03.2013, 13:39

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Flächen sind übrigens: a) zwei Paraboloide für c<0, b) ein Hyperboloid für c>0, c) zwei Kegel, die an den Spitzen aneinanderstoßen für c=0. Alle rotationssymmetrisch zur z-Achse.

07.03.2013, 14:11

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort RavenOnJ

Zitat:

Dabei geht es um Koordinaten auf der Fläche, nicht um die Koordinaten der Punkte, wenn die Fläche in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist.

Ich verstehe aber nicht so ganz was du meinst. Ist das die Karte der Fläche, die du meinst?
Ich weiss eben nicht so ganz, was es grafisch bedeutet, wenn eine Fläche "glatt" ist. Kannst du das vielleicht kurz erklären?

Zitat:

Die Flächen sind übrigens: a) zwei Paraboloide für c<0, b) ein Hyperboloid für c>0, c) zwei Kegel, die an den Spitzen aneinanderstoßen für c=0. Alle rotationssymmetrisch zur z-Achse.

Wie siehst du das?

07.03.2013, 14:35

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eine Karte in einer Umgebung des jeweiligen Punktes. Bei c=0 ist in einer Umgebung von (0,0,0) keine solche Karte möglich.

Der Begriff "glatte Fläche" sagt mir ansonsten nicht viel. Ob die Fläche keine Knicke haben darf? Es kann ja dann trotzdem eine differenzierbare Mannigfaltigkeit sein. Aber vielleicht ist das analog zu "glatt" bei einer Funktion gemeint. Dort bedeutet es ja unendlich oft differenzierbar. Vielleicht fragst du noch mal nach, was das genau beduten soll in diesem Zusammenhang.

Zu den Flächen: Dass sie rotationssymmetrisch zur z-Achse sind, dürfte klar sein. Punkte, die auf Kreisen um die z-Achse liegen, ergeben wegen dem Term $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ denselben Wert, d.h. alle auf einem Kreis gehören dazu oder keiner. Ansonsten: Schreib die Funktion in der Form $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=z^2+c \end{eqnarray*}$ , dann siehst du, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{z^2+c} \end{eqnarray*}$ der Radius des jeweiligen Kreises ist. Da $\begin{eqnarray*} x^2+y^2\ge 0 \end{eqnarray*}$ , muss für $\begin{eqnarray*} c<0 \end{eqnarray*}$ der Betrag des z-Wert $\begin{eqnarray*} \ge \sqrt{|c|} \end{eqnarray*}$ sein. Für $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ müssen die Radien der Kreise $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 \ge \sqrt{c} \end{eqnarray*}$ sein, wobei das Minimum bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ liegt. Dort hat das (Rotations-)Hyperboloid seine Taille. Für $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ sind die Radien gerade $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ .

07.03.2013, 14:54

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist es einigermassen klar mit den Flächen. Die Definitionen muss ich nochmals gründlich durchgehen. Vielen Dank!

Kannst mir vielleicht noch ein gutes Buch zu diesem Thema empfehlen?
Das Skript, das wir verwenden finde ich relativ trocken und schlecht erklärt.

07.03.2013, 15:02

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was dein Thema ist. Differentialgeometrie?

07.03.2013, 15:21

telli

Auf diesen Beitrag antworten »

Behandelt werden folgende Themen:
-Integralsätze von Gauss und Stokes
-Variationsrechnung
-partielle Differentialgleichungen (Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung, Laplacegleichung)
-Lebesgue-Integral
-Hilberträume und symmetrische Operatoren

Zuletzt haben wir "den Satz über implizite Funktionen" gesehen. Weiss aber nicht wie stark dieses Thema mit den oben aufgezählten Themen zusammenhängt.

Neue Frage »

Antworten »

Niveauflächen

Verwandte Themen