Gruppe Zp

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Bettina93 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Zp
Meine Frage:
Hey in einem Lehrbuch von mir steht drin, dass

(Zp\{0},· ) eine Gruppe ist. (p steht für Primzahl)

Ich versteh enur nicht wieso. Eigentlich kann es doch keine Gruppe sein oder?

Meine Ideen:
Also ich bin folgendemaßen vorgegangen.

Z = ganze Zahlen {...,-2, -1, 0, 1, 2, ...}

Primzahlen = (2,3,5,7,...)

Nun bin ich die Kriterien für die Gruppen durchgegangen:

1) 2·(3·5) = (2·3)· 5 (Assoziativität)

2) schon beim neutralen Element fehlt es mir an einer Idee

Hier muss es ja eine Zahl ? Zp geben, mit der gilt a * n = a

3) Ebenso finde ich kein Inverses Element, die das Kriterium erfüllt.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Zp
bist du dir einigermaßen im klaren darüber was in Z_p die trägermenge und die gruppenoperation sind? oder haperts da schon? - dann ist klar dass dus nicht verstehst. ansonsten würd ich mal fragen was genau das problem ist, also wo du die gruppeneigenschaften verletzt siehst?
lg
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Zp
Du hast wohl eine ziemlich falsche Vorstellung von . Das ist keine Menge von Primzahlen.

Edit: Und raus.
bettina933 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber mit Z sind ja die ganzen Zahlen gemeint. Und die Gruppenoperation ist die Multiplikation.

Da Zp stand dacht ich es ist gemeint nur die Primzahlen, die in Z enthalten sind (sind ja alle)
Und dann erschließt sich mir nicht, wie Axion b) neutrales Element und c) inverses Element beweisbar sind.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

nee, die MENGE der primzahlen schreibt man auch meistens .
oder auch - für eine FESTE primzahl p - ist das ding hier, also der ring (körper) bzw. einfach die entspr. (additive) gruppe.
oder auch oder (oder mit einem "x" anstatt "*") ist dann das ding hier.
es gibt sicher auch einige gut erklärende threads in diesem forum - wer suchet (suchfunktion - "(prime) restklasse (-ngruppe)" o.ä. am besten) der findet!
lg
bettina9333 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey wollte mich nochmal melden.
Also habe es mir nochmal angeschaut und habe es jetzt so verstanden.

Es geht hier ja um die Restklassen.

Schauen wir uns z.B. mal folgendes an:



Ich weiß jetzt nicht genau, wie ich es mathematisch erklären soll, aber hier geht es ja dann um die möglichen Reste in . Mit der Einschränkung, dass sie Teilerfremd sind. Also haben wir hier

= {1,3}

Jetzt müssen wir überprüfen, ob es sich um eine Gruppe handelt.

1) es spielt keine Rolle ob wir 1 * (3 * 3) oder (1 * 3) * 3 rechnen. Damit ist die erste Gruppeneigenschaft erfüllt.

2) Die Einschränkung, dass sie teilerfremd sind spielt hier eine wichtige Rolle, denn sonst gäbe es nicht für jedes a der Gruppe ien multiplikativ Inverses.

3) Ist mit dem neutralen Element die Konhruenten Zahlen gemeint?

Also es spielt ja keine Rolle ob ich jetzt habe:

3x = 1(mod4) habe oder eine dazu kongurente Lösung.

so würden hier für x=3,7,11,... alle die Gleichung erfüllen.

Ich hoffe mal, dass es diesmal richtiger ist.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist also bei der Einheitengruppe im Restklassenring . Das neutrale Element ist natürlich die 1. Es ist richtig, dass zu der Gruppe gerade die zu n teilerfremden Restklassen gehören. Ist also n eine Primzahl, dann gehören alle Restklassen außer der 0 dazu.
bettina93333 Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke.

Ich frage mich nur, wenn es heißt in einer Aufgabe: Beweisen sie das (\{0}, * ) eine abelsche Gruppe ist.

Also was ich verstehe ist, dass es sich hierbei um eine Restklassengruppe handelt. Bei der multiplikation darf das Element(?) 0 nicht enthalten sein, da es ja kein Inverses für die 0 gibt -> man kann ja nicht rechnen.
Das hat ja aber noch nichts mit den Restklassen zu tun.

Das erste Kriterium ist ja einfach. Oder kann man das einfach so sagen, dass:

a * (b *c) =(a * b) * c ; beweist man das bei (\{0}, * ) einfach durch einsetzen von beliebeigen Primzahlen?

Was ich auch verstehe ist, dass es bei den Restklassen nur dann 100% immer eine multiplikative Inverse gibt, falls a und b Teilerfremd sind.
Sprich wenn ich (mod6) habe, dann habe ich als Teilerfremde Elemente 1 und 5. (Da 6 ein Vielfaches von 3 ist fällt diese Primzahl ja weg, genauso wie 2).

Würden wir mit allen Zahlen(?) rechnen a={0,1,2,3,4,5}, so bekämen wir im Falle:

2 = 1(mod6) ein Problem. Hier gäbe es beispielweise keine multiplikative Inverse.

Und wie beweist man die Existenz des neutrale Element?

Habe schon viele Foren durchsucht udn auch bei google nichts hilfreiches gefunden. Könnte sich nicht einer erbarmen und mir es mal Schritt für Schritt erklären? Ich denke ja das ich schonmal auf dem richtigen Weg bin, nur sich mir irgendetwas nochnicht erschließt.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

was das neutrale element ist hat ja ravenonj schon gesagt (und 1 ist ja trivialerweise immer in dieser gruppe), da brauchst du dir also keinen kopf drüber machen.
die existenz der inversen für zu p teilerfremde lässt sich mithilfe des euklidischen algorithmus' beweisen.
die restl. gruppeneigenschaften (ass., komm.) "erbt" diese gruppe von den ganzen zahlen - denn aus denen konstruiert man ja dieses ding hier; das heißt du musst nicht für alle elementkombinationen überprüfen.
lg
bettina933333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen dank. smile

Ja hatte das neutrale Element danach nochmal gelesen.. anfangs wohl überlesen udn editieren kann ich leider nicht wiel ich nicht registirert bin. smile

Aber jetzt ist es schon viel verständlicher.
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