Koordinaten einer Kreistangenten

06.03.2013, 19:12	ProfilerOne	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinaten einer Kreistangenten Meine Frage: Die Situation stellt sich wie auf der angehängten Skizze da, dabei sind sowohl der Radius r, der Mittelpunkt des Kreises, sowie die Koordinaten des Punktes P bekannt. Gesucht sind die beiden Schnittpunkten der Tangenten. Ich glaube es ist hilfreich, wenn man dich vorstellt, dass P eine Lichtquelle ist und man die beiden Punkte auf dem Kreis sucht, wo gerade noch Licht hinfällt. Meine Ideen: Ich bin mir nicht sicher, ob der Radius wirklich Orthogonal zu dem "Lichtstrahl" sein muss, aber alle meine Annahmen beruhen hier drauf. Ich hab den Ansatz über Trigonometrie versucht, also den Winkel am Punkt P mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} a = \arcsin(r/x) \end{eqnarray}$ und dann Versucht mit Vektoren bzw. Skalaprodukten an die Lösung zukommen, aber ich scheitere immer. Kann mir jemand helfen?
06.03.2013, 20:38	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinaten einer Kreistangenten Hallo 1. Radius und Tangente stehen im Berührpunkt senkrecht auf einander - das stimmt. 2. Sei T der Berührpunkt mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec t \end{eqnarray}$ , P habe den Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec p \end{eqnarray}$ . Der Radius des Kreises sei r. Da der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, werden die Rechnungen erheblich vereinfacht. 3. Es gelten folgende Beziehungen: $\begin{eqnarray} (\vec t)^2 = r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\overrightarrow{TM}) \cdot (\overrightarrow{TP}) =0 \end{eqnarray}$ Beide Vektoren stehen senkrecht auf einander. $\begin{eqnarray} (\overrightarrow{MT}) \cdot (\overrightarrow{MP}) = r^2 \end{eqnarray}$
06.03.2013, 21:13	Profiler	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für deine Antwort! Ich kann deine drei Beziehungen nachvollziehen, aber die Lösung des Problems hat mir das ganze noch nicht geliefert - ich hätte vielleicht schreiben sollen, dass ich auf der Suche nach der allgemeinen Lösung bin - aber die Vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{TM}, \overrightarrow{TP}, \overrightarrow{MT} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{t} \end{eqnarray}$ sind unbekannt, klär mich auf, es ist gut möglich das ich etwas übersehe, aber lösen kann ich das so nicht. Danke für Eure Hilfe
06.03.2013, 21:34	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich Deine Frage zu Anfang richtig verstehe sind Dir die Länge des Radius, der Mittelpunkt des Kreises und die Koordinaten des Punktes P bekannt. Richtig? Dann ist $\begin{eqnarray} \vec t = \begin{pmatrix}x \\ \sqrt{r^2-x^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit der zweiten Formel, die ich Dir gegeben habe, ergibt sich dann eine Gleichung zur Berechnung der Koordinaten von T. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x \\ \sqrt{r^2-x^2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x-P_x \\ \sqrt{r^2-x^2}-P_y \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ EDIT: ... muss jetzt leider weg!
06.03.2013, 23:22	Profiler	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich versteh es einfach nicht, ich forme schon seit einer Ewigkeit Gleichungen um, aber es Hilft nicht, ich bekomme kein vernünftiges Ergebnis. Aus meiner Sicht müsste für die X-Komponente gelten: $\begin{eqnarray} T_{x} = \frac{r^{2} + M_{x} P_{x} - M_{x}^{2} }{P_{x} - M_{x} } \end{eqnarray}$ Wobei M allgemein der Mittelpunkt ist, also hier M(0\|0), aber das scheint nicht richtig zu sein, wenn ich das ganze versuche zu lösen, kommt da irgendwas raus, aber leider keine Wert die Sinn machen oder richtig sind, kannst du mich aufklären? Danke
07.03.2013, 08:38	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen! 1. Skalrprodukt ausrechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x \\ \sqrt{r^2-x^2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x-P_x \\ \sqrt{r^2-x^2}-P_y \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x-P_x)+(r^2-x^2)-P_y \cdot \sqrt{r^2-x^2}=0 \end{eqnarray}$ Nach ein paar weiteren Schritten hast Du: $\begin{eqnarray} P_y \cdot \sqrt{r^2-x^2} + x P_x -r^2=0 \end{eqnarray}$ Das ist eine Wurzelgleichung in x, wodurch die nachfolgenden Umformungen ziemlich barock werden und erhöhte Sorgfalt erfordern. Nach jeder Menge Irrwegen und Vorzeichenfehlern habe ich jetzt als Endergebnis für $\begin{eqnarray} T_x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\frac{r \left(r \cdot P_x \pm P_y \cdot \sqrt{P_x^2+P_y^2-r^2} \right)}{P_x^2+P_y^2} \end{eqnarray}$ Teste mal an einem konkreten Beispiel, ob dieses Ergebnis richtig ist. (Anmerkung: Mein Testszenario war r = 5, P(-1 / 7) ) .... so, muss los, die Pflicht ruft!
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07.03.2013, 09:11	Profiler	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, für Deine Hilfe es funktioniert! Meine letzte Frage wäre zu welchem Zeitpunkt ± zu + bzw. zu - wird. Ich habe den Punkt P sich auf einer Ellipse um den Kreis drehen lassen und an bestimmten Positionen ist die Tangente für + korrekt für andere für - aber ich konnte nicht herausfinden, welches Kriterium erfüllt sein muss, damit der Term positiv oder negativ sein muss. Aber ich danke dir wirklich nochmal für Deine Hilfe!
07.03.2013, 14:03	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Blumen! 1. Von einem Punkt außerhalb des Kreises kann man immer zwei Tangenten zeichnen, deshalb muss es auch zwei x-Werte für die Berührpunkte geben. Ausnahmen: Der Punkt liegt auf dem Kreis, dann gibt es nur eine Tangente. Der Punkt liegt innerhalb des Kreises, dann gibt es gar keine Tangente. Die beiden Berührpunkte liegen auf einer Parallelen zur y-Achse, dann gibt es nur einen x-Wert. 2. Ich habe mal versucht, aus Deinen Angaben ein BIld zu basteln: Kreis wird von Ellipse eingeschlossen; Kreis und Ellipse haben nur eine Symmetrieachse gemeinsam.

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