Warum ist hier ein Wurzelfreimachen nicht möglich?

07.03.2013, 00:29

Tipso

Warum ist hier ein Wurzelfreimachen nicht möglich?

Hallo,

unzerlegbar in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = \end{eqnarray*}$

Warum?
Warum nennt man dies Wurzelfreimachen und nicht Potenzfreimachen?

lg

07.03.2013, 09:08

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nunmal $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\neq \sqrt a + \sqrt b \end{eqnarray*}$ . Aus jedem Summanden einzeln die Summe zu ziehen ist nicht möglich.

Was nennt man "Wurzelfreimachen"? Worauf beziehst du dich da? verwirrt

07.03.2013, 09:51

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

In der Aufgabenstellung steht Wurzelfreimachen.

Ich frage mich, warum Wurzelfreimachen steht und nicht Potenzfreimachen.

Dazu ist es einfach irritierend, dass

$\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = \end{eqnarray*}$ nicht möglich

aber

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = \end{eqnarray*}$ möglich

$\begin{eqnarray*} a^3 + b^3 = \end{eqnarray*}$ möglich

$\begin{eqnarray*} a^3 - b^3 = \end{eqnarray*}$ möglich

lg

07.03.2013, 10:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend geht es hier nicht um "Wurzelfreimachen", sondern schlicht um (Un-)Möglichkeiten der Faktorisierung.

07.03.2013, 10:10

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe nochmals die ganze Aufgabenstellung:

Wurzelfreimachen des Nenners

Ist der Nenner eines Bruches ein Ausdruck, der Wurzeln enthält, so versucht man den Bruch so geschickt zu erweitern, dass die Wurzeln wegfallen. Dabei verwendet man eine der folgenden Zerlegungsformeln, wie sie in Aufg. 365 bewiesen werden.

lg

07.03.2013, 10:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und? Die übergeordnete Themenbezeichnung, aus der du dieses Teilproblem hier herausgelöst hast, ist einfach untauglich für das, worum es im Teilproblem wirklich geht - nämlich Faktorisierung:

Setzen wir im Fall $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ einfach mal $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , dann sind

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = b^2(x^2+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2-b^2 = b^2(x^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3+b^3 = b^3(x^3+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^3-b^3 = b^3(x^3-1) \end{eqnarray*}$

Eine Faktorisierung des Originalterms zumindest in dem Sinne, dass man wenigstens einen (reellen) Linearfaktor abtrennen kann, ist nun genau dann möglich, wenn das entstandene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Polynom wenigstens eine (reelle) Nullstelle hat. Das ist bei $\begin{eqnarray*} x^2-1,x^3+1,x^3-1 \end{eqnarray*}$ jeweils der Fall, bei $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ jedoch nicht.

07.03.2013, 11:01

HAB

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich sollst du bei Termen, die etwa so aussehen,

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[2]{3x} +4}{2+\sqrt[3]{x^{2}-1 } } \end{eqnarray*}$

den Nenner mit Hilfe der gegebenen Formeln Wurzelfrei machen.
Die Wurzel im Nenner würde verschwinden, wenn du beide Summanden im Nenner in die dritte Potenz erhen würdest. Dies gelingt mit der sicher bewiesenen Formel

$\begin{eqnarray*} a^{3}+b^{3} =(a+b)\cdot (a^{2}-a\cdot b+b^{2}) \end{eqnarray*}$

wobei der erste Summand im Nenner die Rolle von a, der zweite die Rolle von b übernimmt.
Der Bruch müsste also erweitert werden mit:

$\begin{eqnarray*} {2^{2}-2\cdot \sqrt[3]{x^{2}-1 } } +{(\sqrt[3]{x^{2}-1 } )}^{2} \end{eqnarray*}$

Der entstehende Bruch hat zwar dann einen möglicherweise recht komplizierten Zähler, der Nenner wird aber wurzelfrei und hat bei diesem Beispiel die einfache Form

$\begin{eqnarray*} 2^{3} +{\sqrt[3]{x^{2}-1 }}^{3} =8+(x^{2}-1 )=7+x^{2} \end{eqnarray*}$

07.03.2013, 11:08

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas zu Anspruchsvoll für mich. geschockt

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = b^2(x^2+1) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} b^2 (\left(\frac{a}{b} \right) ^2+1) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} b*b * \frac{a}{b}*\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Warum hat $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$

keine Nullstelle?

Weil ich keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen darf.

Warum hat sie eine bei $\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$

3te Wurzel aus einer negativen Zahl ist möglich?

lg

07.03.2013, 14:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso
Warum hat $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$

keine Nullstelle?

Warum, warum, immer nur warum, statt EINMAL selbst kurz nachzudenken ... Hast du denn keine quadratischen Funktionen in der Schule behandelt? Hat denn $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ bzw. umgestellt $\begin{eqnarray*} x^2=-1 \end{eqnarray*}$ reelle Lösungen?

07.03.2013, 14:51

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da ich von einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen kann.

Irritierend fand ich aber:

$\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 = -1 \end{eqnarray*}$

Hier muss es aber gehen.

lg

Ps.

@HAB

Danke für den ausführlichen Rechenweg.

07.03.2013, 16:04

HAB

Auf diesen Beitrag antworten »

klar

x=-1

07.03.2013, 16:11

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Taschenrechner sagt Error zu:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{-1} \end{eqnarray*}$

07.03.2013, 16:58

HAB

Auf diesen Beitrag antworten »

um die Lösung von $\begin{eqnarray*} x^{3} = -1 \end{eqnarray*}$ zu erhalten musst du auch die Kubikwurzel ziehen.

Die Gleichumg $\begin{eqnarray*} x^{2} = -1 \end{eqnarray*}$ hingegen hat keine reelle Wurzel.

07.03.2013, 17:02

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich mir später genauer anschauen.

3 Wurzel geht, hingegen 2 Wurzel bzw. Wurzel nicht ..

lg

Neue Frage »

Antworten »

Warum ist hier ein Wurzelfreimachen nicht möglich?

Verwandte Themen