Potential eines Vektorfeldes

07.03.2013, 09:26

Pauline21

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Potential eines Vektorfeldes

Meine Frage:
Hallo Ihr lieben Menschen da draußen smile

smile

Ich würde mich freuen wenn Ihr mir bei der Bearbeitung dieser Aufgabe behilflich sein könntet. Das wäre supi dankeschönski smile

smile

Also:

a)
Geben Sie eine Parametrisierung $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der Geraden an, die die Punkte $\begin{eqnarray*} A=(1,1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(2,4,8) \end{eqnarray*}$ verbindet.

Eine Raumkurve, die $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ verbindet, ist $\begin{eqnarray*} \hat \gamma \equiv {r(t)|t\in [1,2]} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ 7t-6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Berechnen Sie das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\hat \gamma} G(r)\cdot dr \end{eqnarray*}$ des Vektorfelds $\begin{eqnarray*} G(x,y,z)=(z,xy,0) \end{eqnarray*}$ entlang des vorgegebenen Weges $\begin{eqnarray*} \hat \gamma \end{eqnarray*}$ .

c) Kann man das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} G(x,y,z) \end{eqnarray*}$ als Gradient eines Skalarfeldes darstellen ? Beweisen Sie Ihre Aussage.

$\begin{eqnarray*} \hat \gamma \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei a) verstehe ich schon den Anfang nicht. Es soll eine Parametrisierung gegeben sein, die die Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ verbindet. Also muss ich noch eine Parametrisierung angeben ?

Bei b) bilde ich ja r'(t) und multipliziere es skalarproduktmäßig mit ? Und integriere es in den Grenzen von 1 bis 2 ?

Bei c) Habe ich keinen blassen Schimmer.

07.03.2013, 09:43

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Pauline21
Bei a) verstehe ich schon den Anfang nicht. Es soll eine Parametrisierung gegeben sein, die die Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ verbindet. Also muss ich noch eine Parametrisierung angeben ?

Ja, du sollst eine Parametrisierung der Geraden angeben, die durch A und B läuft. Also nach dem Schema der Kurve, die schon angegeben ist. Das ist aber ja keine Gerade, weil da in der y-Komponenten ein t² auftaucht.

Zitat:

Original von Pauline21
Bei b) bilde ich ja r'(t) und multipliziere es skalarproduktmäßig mit ? Und integriere es in den Grenzen von 1 bis 2 ?

Ich nehme an, du meinst das Richtige.

07.03.2013, 09:51

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Die a) stellt mich doch vor Schwierigkeiten. Es soll ja A nach b verbunden werden das mit der Geraden verstehe ich nicht was du meinst. Jedenfalls könnte man doch $\begin{eqnarray*} r(t)=(t, 2t, 4t) \end{eqnarray*}$ wählen ? wenn man 2 einsetzt kommt man auf b ?

Und noch eine Frage. Man kann doch a und b unabhängig voneinander lösen ?

07.03.2013, 09:54

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Pauline21
Jedenfalls könnte man doch $\begin{eqnarray*} r(t)=(t, 2t, 4t) \end{eqnarray*}$ wählen ? wenn man 2 einsetzt kommt man auf b ?

Und welche Zahl willst du da einsetzen, um auf A zu kommen?

Zitat:

Original von Pauline21
Und noch eine Frage. Man kann doch a und b unabhängig voneinander lösen ?

Ja. Diese Gerade, die du parametrisieren musst, brauchst du in b) nicht.

07.03.2013, 10:17

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Ja das ist die Frage ich komme nicht auf eine andere Parametrisierung die ersten zwei Werte also kann man noch gut parametrisieren aber bei dem letzten $\begin{eqnarray*} 7t-6 \end{eqnarray*}$ verdoppelt man es klappt es nicht wenn man etwas abzieht klappt es auch nicht naja irgendwie habe ich eine halbe Seite vollgekritzelt und es kommt immer etwas ungleich 8 heraus unglücklich

unglücklich

07.03.2013, 10:25

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Von der gegebenen Raumkurve r(t) kannst du dich ruhig vollständig lösen. Die hat mit unserer Geraden ja nichts zu tun. Komplett neu ansetzen und eine Darstellung für diese Gerade finden.

Bei einer Geraden ist das eigentlich besonders einfach. Das funktioniert auch immer nach dem gleichen Schema:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = A + t \cdot (B-A) \end{eqnarray*}$

Also Summe aus Stützpunkt (A) und Richtungspunkt (B-A). Das ist reiner Schulstoff.

Edit: Vorzeichen geändert.

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07.03.2013, 10:29

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Mulder
Das ist reiner Schulstoff.

Stimmt da leuchtet was auf. Aber wieso A-t ?

07.03.2013, 10:30

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Pauline21
Stimmt da leuchtet was auf. Aber wieso A-t ?

Auch an "Punkt vor Strich" denken, bitte.

Also A plus [ t MAL (B-A) ]

Edit: Ach so, da gehört natürlich ein "+" hin. Kleiner Vertipper, pardon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.03.2013, 10:35

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Mulder

Edit: Ach so, da gehört natürlich ein "+" hin. Kleiner Vertipper, pardon. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Keine Ursache. Jetzt versteh ich es man hat dann ein LGS, dass man lösen und kann man hat die Parametrisierung. Ich muss jetzt zur Uni melde mich später. Vielen lieben Dank. Ich hoffe bis später smile

smile

07.03.2013, 10:37

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Naja, "lösen" muss man da nichts mehr. In

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = A + t \cdot (B-A) \end{eqnarray*}$

die beiden Punkte einsetzen und fertig. Nur musst du noch kurz eben schauen, welches Intervall t zwischen A und B durchläuft.

Bei der gegebenen Kurve war das zwischen t=1 und t=2. Hier erhalten wir etwas andere Werte.

08.03.2013, 10:15

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Und wie schaue ich kurz, welches Intervall A und B durchläuft ?

08.03.2013, 15:06

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes
verwirrt

verwirrt

Naja, für t=0 landest du beim Punkt A und für t=1 landest du beim Punkt B. Also $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .

12.03.2013, 12:19

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes
a)
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der Geraden an, die die Punkte $\begin{eqnarray*} A=(1,1,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=(2,4,8) \end{eqnarray*}$ verbindet.

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = A + t \cdot (B-A)=\begin{pmatrix} t+1 \\ 3t+1 \\ 7t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0, 1] \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} r(t)=\begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ 7t-6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r'(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2t \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(r(t))=\begin{pmatrix} 7t-6 \\ t^3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu berechnen ist ja das Wegintegral $\begin{eqnarray*} \int_{\hat \gamma} G(r)\cdot dr =\int_1^2 \! \begin{pmatrix} 7t-6 \\ t^3 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \\ 7 \end{pmatrix} \, dt=\int_1^2 \! 7t-6+2t^4 \, dt= \frac{7}{2}t^2-6t+\frac{2}{5}t^5|_1^2=16,9 \end{eqnarray*}$

Stimmt doch ?

Bei c) fehlt es mir an Verständnis und ich weiß nicht wie ich das angehen soll traurig

traurig

12.03.2013, 12:35

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Pauline21
Stimmt doch ?

Das Ergebnis sollte passen, ja.

Was die c) betrifft, kommt's jetzt ein bisschen drauf an, was ihr alles schon behandelt habt. Ist der Begriff "Konservatives Kraftfeld" schon behandelt worden? In diesen gelten diverse Äquivalenzen, die du hier nachlesen kannst. Punkt 4 mit der Rotation wäre hier z.B. ziemlich einfach. Aber dafür muss das dran gewesen sein, das kann ich nicht wissen. Das musst du selber in deinem Skript in Erfahrung bringen.

Ansonsten kann man das natürlich auch direkt überprüfen (in dem Link ist das Punkt 3). Zu prüfen ist, ob es eine skalare Funktion $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) = G(x,y,z) \end{eqnarray*}$

ist. Schreib das mal ausführlich aus, inklusive dem Nabla-Operator. Dann kannst du schauen, ob sich eine solche skalare Funktion finden lässt, die diese partiellen Ableitungen besitzt, oder ob sich Widersprüche ergeben (in dem Fall ließe sich G eben nicht als Gradient einer skalaren Funktion darstellen). Besonders schwierig ist auch das nicht.

12.03.2013, 13:01

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Pauline21
Stimmt doch ?

Das Ergebnis sollte passen, ja.

Was die c) betrifft, kommt's jetzt ein bisschen drauf an, was ihr alles schon behandelt habt. Ist der Begriff "Konservatives Kraftfeld" schon behandelt worden? In diesen gelten diverse

$\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) = G(x,y,z) \end{eqnarray*}$

ist. Schreib das mal ausführlich aus, inklusive dem Nabla-Operator. Dann kannst du schauen, ob sich eine solche skalare Funktion finden lässt, die diese partiellen Ableitungen besitzt, oder ob sich Widersprüche ergeben (in dem Fall ließe sich G eben nicht als Gradient einer skalaren Funktion darstellen). Besonders schwierig ist auch das nicht.

Ja wir hatten konservative Felder behandelt. Schwierig ist es eig nicht es ist verständlich erklärt was erfüllt sein muss sprich Punkt 3 (Link). Nabla ist ja nichts anderes als die partiellen Ableitungen ? Was ist nicht verstehe ist, dass du schreibst $\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) = G(x,y,z) \end{eqnarray*}$ und dort steht ja $\begin{eqnarray*} \vec F(\vec r)=-k\vec \nabla \Phi(\vec r) \end{eqnarray*}$

12.03.2013, 13:09

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Naja, wir bewegen uns im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und ich habe das jetzt alles so bezeichnet. In dem Wikipedia-Artikel halten die das allgemein mit $\begin{eqnarray*} F(\vec r) \end{eqnarray*}$ . Ist das selbe. Lass dich davon nicht verwirren. Und sonst schau in dein Skript, wie ihr das schreibt und halte dich an diese Notation. Es geht hier einfach um den Gradienten. Der Vorfaktor -k ist Konventionssache, den brauchen wir hier nicht. Das wird eher in der Physik interessant, jedenfalls das Minuszeichen.

12.03.2013, 13:27

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Ich versuch's einfach mal $\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) = G(x,y,z) \end{eqnarray*}$

Also wir brauchen die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) \end{eqnarray*}$ und in unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) \end{eqnarray*}$ genau was ? $\begin{eqnarray*} G(x,y,z) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} G(r(t) \end{eqnarray*}$ ? Ich würde sagen $\begin{eqnarray*} r(t) \end{eqnarray*}$ ist die linke Seite der Gleichung aber wir haben ja nur t als Variable und dort ist ja $\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) \end{eqnarray*}$ dann ergibt das keinen Sinn.

Ich glaube da bin ich nicht so ganz auf dem richtigen Weg hat es vielleicht etwas mit $\begin{eqnarray*} G(x,y,z)=(z,xy,0) \end{eqnarray*}$ zu tun ?

12.03.2013, 13:30

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Naja, einfach erstmal streng nach Definition hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \nabla \phi(x,y,z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial \phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial \phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z \\ xy \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial x} = z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial y} = xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \phi}{\partial z} = 0 \end{eqnarray*}$

Zu prüfen ist, ob es so ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ geben kann.

12.03.2013, 13:34

Pauline21

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RE: Potential eines Vektorfeldes
Ja genau. Das ist jetzt allgemein ausgeschrieben. Aber was ist genau jetzt in unserem Fall die linke Seite der Gleichung ?

12.03.2013, 13:35

Mulder

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RE: Potential eines Vektorfeldes

Zitat:

Original von Pauline21
Aber was ist genau jetzt in unserem Fall die linke Seite der Gleichung ?

Mehr wissen wir nicht. Schließlich kennen wir $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nicht, wir wissen ja noch nicht einmal, ob es so ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ geben kann.

Aber die partiellen Ableitungen geben Aufschluss darüber, von welcher Gestalt $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sein muss, bzw. sein müsste. Du könntest ja mal integrieren, also diese partiellen Ableitungen "rückgängig" machen. Und dann vergleichen.

Also auch ein bisschen überlegen an dieser Stelle.

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