Konvergenz

07.03.2013, 11:37

CJ25

Konvergenz

Meine Frage:
Hallo ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest:

Muss auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \sqrt[n]{n} *q^n \end{eqnarray*}$

|q| < 1

Soll ich hier das quotientenkriterium anwenden?

Meine Ideen:
Gepostet

07.03.2013, 13:48

RavenOnJ

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von CJ25
Soll ich hier das quotientenkriterium anwenden?

Mach mal! Was kommt dann raus? Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) := \sqrt[x]{x} \end{eqnarray*}$ ist übrigens ab x=e monoton fallend (was natürlich zu zeigen wäre).

07.03.2013, 14:19

CJ25

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RE: Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n+1]{n+1} *q | \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt weiter vor?

07.03.2013, 14:53

RavenOnJ

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Nicht ganz. Du hast den Part mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ vergessen.

Vielleicht gehst du aber besser anders vor, indem du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist ab einem bestimmten n und gibst dann eine gescheite Abschätzung nach oben an. [Es reicht auch, dass du zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} < c \end{eqnarray*}$ für eine gut gewählte Konstante $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ gilt.] Dann reduziert sich das Problem automatisch auf die geometrische Reihe.

07.03.2013, 14:55

CJ25

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Geht der Grenzwert von der nten Wurzel aus n nicht gegen 1 ?

07.03.2013, 14:59

RavenOnJ

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Ja. Schätz einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ nach oben durch eine Konstante ab und der Fisch ist fast schon gegessen.

07.03.2013, 19:04

CJ25

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Es kommt bei mir nur q raus.

ALso konvergiert es oder ?

07.03.2013, 19:55

RavenOnJ

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Zitat:

Original von CJ25
Es kommt bei mir nur q raus.

wobei? Schreib mal bitte genauer auf. Wie soll man bei deinen spärlichen Äußerungen etwas erkennen?

07.03.2013, 20:18

CJ25

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } |\frac{\sqrt[n+1]{n} }{\sqrt[n]{n} } *q | = 1* |q| = |q| \end{eqnarray*}$

Stimmt es so?

07.03.2013, 20:50

RavenOnJ

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Hattest du das schon gelesen?

Zitat:

Original von RavenOnJ
Ja. Schätz einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ nach oben durch eine Konstante ab ...

Wenn du das als erstes machst, dann ist der Rest sehr einfach. Man muss dann keine Limes-Betrachtungen und ähnliches machen, da mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} < c,\forall n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ die Reihe nach oben durch eine geometrische Reihe abgeschätzt werden kann:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \sqrt[n]{n}q^n < \sum\limits_{n=0}^{n_0 -1} \sqrt[n]{n}q^n + c\sum\limits_{n=n_0}^\infty q^n \end{eqnarray*}$

Für die Beurteilung der Konvergenz kommt es nur auf die unendliche Summe auf der rechten Seite an. Kann man also so eine Konstante c finden, dann konvergiert die Summe für alle $\begin{eqnarray*} \lvert q \rvert < 1 \end{eqnarray*}$ .

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