Komposition in Relationen

07.03.2013, 15:28

fbausc

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Komposition in Relationen

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zu Relationen und habe Verständnisprobleme.

R ist die Relation "ist Kind von"
S ist die Relation "ist Bruder oder Schwester von"

Beschreiben Sie verbal:

a) R ° S
Hier würde ich meinen "ist Onkel oder Tante von"

b) R ° S ° R^-1
Ich weiß nicht wie ich das R^-1 deuten soll? "Ist nicht Kind von"?

c) (S ° R^-1)^-1
???

Danke!

07.03.2013, 16:07

weisbrot

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RE: Komposition in Relationen
ich denke nicht dass die konstruktion "R°S", wobei R, S relationen sind, irgendeinen sinn macht - relationen nehmen objekte und ergeben wahrheitswerte, "R°S" ist also nicht definiert. es sei denn mit "°" ist hier etwas anderes als die komposition von funktionen gemeint.
lg

07.03.2013, 16:46

fbausc

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Das passt schon. Ist eine Prüfungsfrage!
In meine Unterlagen hab ich das Beispiel:

R = "ist verheirate mit"
S = "ist kind von"

R°S ist dann "ist Schwiegersohn oder -tochter von"

° soll das zeichen für die Komposition darstellen.

Danke

07.03.2013, 16:55

weisbrot

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Zitat:

Das passt schon. Ist eine Prüfungsfrage!

ok, dann musst du mir aber mal helfen und sagen, was an der argumentation in meinem ersten post nicht stimmt!
lg

edit: oh, ok, ich bin einfach nur dumm und hab eigendlich keine ahnung von dem zeug. lass mich kurz nachlesen, dann kommt eine bessere antwort

07.03.2013, 17:12

weisbrot

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gut, also das erste stimmt so.
$\begin{eqnarray*} R^{-1} \end{eqnarray*}$ ist die umkehrrelation zu R, also die relation, wo alle elemente "andersrum" in relation stehen. hier ist das also "ist elternteil von".
und c sollte sich dann auch lösen lassen.
lg

07.03.2013, 17:27

RavenOnJ

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RE: Komposition in Relationen

Zitat:

Original von weisbrot
ich denke nicht dass die konstruktion " $\begin{eqnarray*} R\circ S \end{eqnarray*}$ ", wobei R, S relationen sind, irgendeinen sinn macht - relationen nehmen objekte und ergeben wahrheitswerte, " $\begin{eqnarray*} R\circ S \end{eqnarray*}$ " ist also nicht definiert. es sei denn mit " $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ " ist hier etwas anderes als die komposition von funktionen gemeint.

Das macht schon einen Sinn (s. hier. Komischerweise gibt es keinen deutschen Wikipedia-Artikel zum Begriff "Relation", zumindest habe ich keinen gefunden.). Eine Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ ist doch eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ . Hat man nun eine Relation $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B\times C \end{eqnarray*}$ , dann kann man die Komposition $\begin{eqnarray*} S\circ R \end{eqnarray*}$ definieren als $\begin{eqnarray*} S\circ R = \{(x,y)\in A\times C \;\vert\; \exists z\in B \text{ mit } (x,z)\in R\land (z,y)\in S\} \end{eqnarray*}$

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07.03.2013, 17:33

weisbrot

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RE: Komposition in Relationen
ja, recht herzlichen dank, bin ich dann auch drauf gekommen, wie man an meinem vorletzten post erkennen sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

. im deutschen artikel zu relationen gibt es dazu aber einen unterpunkt.
lg

edit: und es macht aber wirklich keinen sinn, wenn man das als übliche funktionenkomposition und relationen als wahrheitsfunktionen auffasst, was ich zuerst gemacht hab.

07.03.2013, 17:36

RavenOnJ

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Gibst du mal einen Link zum deutschen Artikel? Ich habe bisher keinen gefunden.

07.03.2013, 17:37

weisbrot

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einfach "relation" googlen, hier.
lg

07.03.2013, 17:39

RavenOnJ

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Insofern ist $\begin{eqnarray*} R\circ S \end{eqnarray*}$ die Relation "ist Neffe/Nichte von".

07.03.2013, 17:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von weisbrot
einfach "relation" googlen

Hatte ich gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Mein google denkt, ich bin Amerikaner oder Engländer, deswegen wirft er mir bei gleichgeschriebenen Begriffen immer erst die englischen Links aus. Die deutschen kommen wahrscheinlich erst ab Seite 1000 Big Laugh

Big Laugh

.

07.03.2013, 17:48

RavenOnJ

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Genauer gesagt, müsste man hier von binären Relationen sprechen, da der Begriff "Relation" allgemeiner auf n-Tupeln definiert ist.

07.03.2013, 17:54

RavenOnJ

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Die Relation $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ "ist Bruder oder Schwester von" ist symmetrisch, deswegen ist $\begin{eqnarray*} S^{-1}=S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (S\circ R^{-1})^{-1} = R\circ S^{-1} = R\circ S \end{eqnarray*}$ .

07.03.2013, 18:01

fbausc

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R ° S = "ist Nichte/Neffe von"
Ah okay. Also gelesen: "Ist Kind von einem Bruder/einer Schwester" richtig?

Dann ist R ° S ° R^-1:
"Ist Kind von einem Stiefbruder/einer Stiefschwester"?

07.03.2013, 18:02

weisbrot

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Zitat:

Insofern ist $\begin{eqnarray*} R\circ S \end{eqnarray*}$ die Relation "ist Neffe/Nichte von".

hm, ne, das wäre S°R, aber allerdings ist meine erste antwort dazu auch nicht richtig (wird langsam ganzschön peinlich). also mal ganz langsam: xR°Sy bedeutet: xSz und zRy für ein z, also: x ist geschwister von jemandem, der kind von y ist. also einfach "ist kind (und nicht einzelkind) von".

Zitat:

Mein google denkt, ich bin Amerikaner oder Engländer, deswegen wirft er mir bei gleichgeschriebenen Begriffen immer erst die englischen Links aus.

man kann auch von der englischen wikiseite zu relationen auf die entspr. deutsche gelangen.

lg

07.03.2013, 18:27

fbausc

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Jetzt bin ich verwirrt smile

smile

was ist es nun?

07.03.2013, 18:38

weisbrot

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hab ich doch geschrieben smile

smile

ich habe mich und ravenonj korrigiert (wenn es denn hoffentlich jetzt passt).
lg

07.03.2013, 19:00

RavenOnJ

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Zitat:

Original von weisbrot
man kann auch von der englischen wikiseite zu relationen auf die entspr. deutsche gelangen.

Von dieser ja, von dieser (diese wird bei mir von google ganz oben auf die Anfrage "Relation" geliefert) oder dieser oder dieser aber nicht.

07.03.2013, 19:28

RavenOnJ

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Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

Insofern ist $\begin{eqnarray*} R\circ S \end{eqnarray*}$ die Relation "ist Neffe/Nichte von".

hm, ne, das wäre S°R, aber allerdings ist meine erste antwort dazu auch nicht richtig (wird langsam ganzschön peinlich). also mal ganz langsam: xR°Sy bedeutet: xSz und zRy für ein z, also: x ist geschwister von jemandem, der kind von y ist. also einfach "ist kind (und nicht einzelkind) von".

Da lag ich also falsch. Nochmal etwas fomalisierter:

$\begin{eqnarray*} R\circ S = \{(x,y)\in A\times C \;\vert\; \exists z\in B \text{ mit } (x,z)\in S\land (z,y)\in R\} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} A = B = C = V = \{\small\text{ Menge der Verwandten}\} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} R = \{(z,y), z,y\in V | z\small\text{ ist Kind von } y\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} S = \{(x,z), x,z\in V | x\small\text{ ist Bruder/Schwester von } z\} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} R\circ S = \{(x,y), x,y\in V | x\small\text{ ist Kind (mit mindestens einem Geschwister) von } y\} \end{eqnarray*}$

da "ist Bruder/Schwester von jemandem, der Kind von" = "ist Kind (mit mindestens einem Geschwister) von ", wie weisbrot schon richtig darlegte.

@weisbrot
Ich finde das jetzt nicht sooo peinlich. Diese Missverständnisse resultieren aus dem impedance mismatch von Umgangssprache und formalisierter Sprache der Mathematik. Beispielsweise ist nicht von vorneherein klar, ob die Relation "ist Kind von" nicht auch gelesen werden kann als "ist Elternteil von", in welche Richtung der Pfeil in dem gerichteten Graphen also zeigt.

07.03.2013, 19:42

RavenOnJ

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Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} S\circ R^{-1} \end{eqnarray*}$ die Relation "ist Elternteil von jemandem, der Bruder/Schwester von"= "ist Elternteil (mit mindestens zwei Kindern) von". Die inverse Relation $\begin{eqnarray*} (S\circ R^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ ist gerade wieder $\begin{eqnarray*} R\circ S \end{eqnarray*}$ von eben, da $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ symmetrisch.

07.03.2013, 19:49

RavenOnJ

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$\begin{eqnarray*} R\circ S\circ R^{-1} \end{eqnarray*}$ wird dann zu "ist Elternteil von jemandem, der Bruder/Schwester von jemandem ist, der Kind ist von". Wie diese beiden Leute patchwork-family-mäßig zueinander stehen können, kann man sich jetzt selber verdeutlichen, wenn Bruder/Schwester auch Stiefbruder/-schwester sein kann.

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