Monotonieverhalten, wenn es keine lokalen Extrema gibt |
| 07.03.2013, 16:04 | nls | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Monotonieverhalten, wenn es keine lokalen Extrema gibt Ich diskutiere gerade eine Funktion, welche keine lokalen Extrema hat (die erste Ableitung null setzen liefert eine quadratische Gleichung, bei der ein negativer Wert unter der Wurzel steht). Nun soll ich das Monotonieverhalten bestimmen; soweit ich das jetzt verstehe, ist das bei dieser Funktion nicht möglich, stimmt das? Angenommen, die Funktion hat einen Hochpunkt bei (1|2) und einen Tiefpunkt bei (2|4). Um das Monotonieverhalten zu bestimmen, muss ich in die erste Ableitung einen Wert kleiner als 1, einen der zwischen 1 und 2 und einen größer als 2 -> stimmt das? Danke schonmal. MfG |
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| 07.03.2013, 16:06 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Monotonieverhalten, wenn es keine lokalen Extrema gibt
Wieso braucht man Extrempunkte, um auf Monotonie zu untersuchen? 
Wie lautet denn deine Funktion, bzw. deren Ableitung? |
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| 07.03.2013, 16:12 | nls | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
y = -x³ + 3x² - 4x y' = -3x² +6x -4 Wenn man die erste Ableitung null setzt kommt eine quadratische Gleichung raus, bei der unter der Wurzel ein negatives Ergebnis (36-48) steht. |
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| 07.03.2013, 16:17 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay. Naja, du kannst relativ leicht zeigen, dass die Ableitung auf ganz negativ ist. Damit ist dann bewiesen, dass deine Funktion streng monoton fallend ist. Geht z.B. mit quadratischer Ergänzung. Oder, da du ja schon nachgewiesen hast, dass die Ableitung nie null wird, reicht es auch, irgendeinen Funktionswert auszurechnen. Einfach irgendeinen. Der Wert wird dann negativ sein und damit weißt du, dass die Ableitung nirgends positiv sein kann, denn sonst gäbe es ja eben doch irgendwo eine Nullstelle, denn Polynome sind ja stetig. |
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| 07.03.2013, 16:24 | nls | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also kurz gesagt: Da beim Einsetzen eines Wertes, egal welches, in die 1. Ableitung immer einen Wert < 0 ergibt lautet die Monotonie: Streng monoton fallend im Interval ]-∞; +∞[ Stimmt das? Danke schonmal für deine Hilfe. |
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| 07.03.2013, 16:26 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. Die Ableitung gibt ja schließlich die Steigung wieder und wenn die Ableitung immer negativ ist, hat deine Funktion überall eine negative Steigung. |
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| 07.03.2013, 16:27 | nls | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eigentlich sollte da ]-Unendlich; +unendlich[ stehen; iwie mag das Forum die Kodierung nicht (hab das Unendlichzeichen von Wikipedia kopiert) |
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| 07.03.2013, 16:31 | nls | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke nochmal 
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| 07.03.2013, 16:36 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dafür brauchst du die Latex-Umgebung (siehe f(x)-Button im Antwortfenster):
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