Differentialgleichung

07.03.2013, 19:54	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung [attach]28913[/attach] Ist die Lösung dieser Aufgabe schlicht die Anwendung von "Trennung der Variablen"? Also: $\begin{eqnarray} y'(x)=a(x)y(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{y'(x)}{y(x)}=a(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y(x)dx}=a(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y(x)}=a(x)dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(y(x))=\int\! a(x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x)=e^{\int\! a(x) \, dx} \end{eqnarray}$ Wäre somit die Aufgabe gelöst?
07.03.2013, 21:04	L.A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es so machen: $\begin{eqnarray} ln[y] = ax + ln [c] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|ln[y] - ln [c] \|= ax \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln \| \frac{y}{c} \| = ax \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = e^{ax} K \end{eqnarray*}$
07.03.2013, 21:11	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du ja lediglich teilweise integriert. Das "a" müsste ebenfalls integriert werden?
07.03.2013, 21:40	L.A.	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, habs geändert. Sollte jetzt passen.
07.03.2013, 22:54	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kann ich nicht ganz folgen. a ist ja keine Variable, sonern eine Funktion von x, also a(x). Kann daher nicht so integreiert werden, wie du es gemacht hast?
08.03.2013, 10:02	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@hansimGlück Deine Lösung ist ok. Eventuell sollte man noch auf die Integrationskonstante hinweisen. Formale Integration beider Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray} \tfrac{y'}{y}=a \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \log_e(y)=A(x)+\log(C) \end{eqnarray}$ , wobei der 2.Summand die Integrationskonstante ist. Umstellen ergibt $\begin{eqnarray} y=e^{A(x)+\log_e(C)}=C\cdot e^{A(x)} \end{eqnarray}$
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08.03.2013, 13:23	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, Ehos! An die Integrationskonstane habe ich nicht gedacht. A(x) ist die Stammfunktion von a(x), ja?

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