Vektorräume

08.03.2013, 11:45

Kris_

Vektorräume

Hallo, liebe Mathematiker =)

Nun bin ich im 2. Semester und es geht los mit linearer Algebra.
Begonnen haben wir mit Vektorräumen und an und für sich habe ich das Prinzip bis jetzt verstanden. Doch jetzt heißt es in der Übung, wir müssen bei Mengen bestimmen, ob sie nun Vektorräume bilden oder nicht.

Hier mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} V_{1} = \left\{(x_{1}, x_{2}, x_{3})\in \mathbb R^{3}: x_{1}= x_{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Hier denke ich, dass es ein Vektorraum ist, da einerseits der Ursprung enthalten ist, andererseits die Definition anhand von Vektoraddition und Skalarmultiplikation zutrifft.
Allerdings sind das jetzt nur theoretische Überlegungen, wie könnte ich das ander Tafel z.B. zeigen?

$\begin{eqnarray*} V_{2} = \left\{(x_{1}, x_{2}, x_{3})\in \mathbb R^{3}: x_{1}\neq x_{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist für mich kein Vektorraum, da der Ursprung nicht enthalten ist (x1 und x2 sind nicht gleich)

$\begin{eqnarray*} V_{3} = \left\{x\in \mathbb R^{3}: x \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 83 \end{pmatrix}= 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist ja der Nullvektor - im Internet habe ich gelesen, dass auch das ein Vektorraum ist - für mich spricht da auch nichts dagegen, weil ja Addition und Multiplikation problemlos mit diesem Vektor funktionieren.

$\begin{eqnarray*} V_{4} = \left\{f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R : -f(x) = f(-x) \right\} \end{eqnarray*}$

Das sind ja ungerade Funktionen und hier habe ich leider üpberhaupt keine Vorstellung, wie ich das eine oder andere zeigen soll verwirrt

$\begin{eqnarray*} V_{5} \end{eqnarray*}$ , die Menge aller Polynome mit Grad genau 2
$\begin{eqnarray*} V_{6} \end{eqnarray*}$ , die menge der Polynome mit Grad höchstens 2

Hier bin ich leider auch etwas ratlos. Können gewöhnliche Polynome Vektorräume darstellen? Und was hat das mit ihrem Grad zu tun?

Danke schon mal für eure Hilfe,
eine sehr verbundene Kris_ smile

08.03.2013, 12:09

Mulder

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RE: Vektorräume
Du überprüfst nur die Unteraumkriterien: Dazu musst du natürlich bereits wissen, dass z.B. der gesamte $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ erst einmal ein Vektorraum ist. Und auch bei den Funktionen und Polynomen musst du erst einmal geeignete "Oberräume" kennen, die bereits Vektorräume bilden mit den entsprechenden Operationen (Addition und Skalarmultiplikation). Wenn das in der Vorlesung dran war, ist alles okay. Sonst müsste man tatsächlich alle Vektorraumaxiome durchgehen, was deutlich mehr Arbeit wäre.

Zitat:

Original von Kris_
Allerdings sind das jetzt nur theoretische Überlegungen, wie könnte ich das ander Tafel z.B. zeigen?

Am Beispiel der Addition: Du nimmst dir zwei Vektoren aus dieser Menge und zeigst, dass die Summe dieser beiden Vektoren ebenfalls wieder diese Eigenschaft hat. So:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ a+c \\ b+d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Passt also, denn auch bei der Summe sind die ersten beiden Komponenten des Vektors ja identisch und das ist ja verlangt. Analog zeigst du das bei der Skalarmultiplikation. Ist wirklich ganz simpel (vielleicht zu simpel und davon lässt man sich dann verwirren).

Zitat:

Original von Kris_
$\begin{eqnarray*} V_{2} = \left\{(x_{1}, x_{2}, x_{3})\in \mathbb R^{3}: x_{1}\neq x_{2} \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist für mich kein Vektorraum, da der Ursprung nicht enthalten ist (x1 und x2 sind nicht gleich)

Mit "Ursprung" meinst du den Nullvektor. Stimmt, der ist nicht drin und damit ist es kein Vektorraum.

Zitat:

Original von Kris_
$\begin{eqnarray*} V_{3} = \left\{x\in \mathbb R^{3}: x \cdot \begin{pmatrix} 17 \\ 83 \end{pmatrix}= 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist ja der Nullvektor [...]

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k>n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kris_
$\begin{eqnarray*} V_{4} = \left\{f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R : -f(x) = f(-x) \right\} \end{eqnarray*}$

Das sind ja ungerade Funktionen und hier habe ich leider üpberhaupt keine Vorstellung, wie ich das eine oder andere zeigen soll verwirrt

Auch hier wieder: Nicht unnötig verwirren lassen. Das kann man mit reiner Schulmathematik erschlagen. Zeig einfach, dass die Summe zweier ungerader Funktionen auch wieder ungerade ist. Verwende dabei die Definition der "punktweisen Addition" von Funktionen.

Zitat:

Original von Kris_
$\begin{eqnarray*} V_{5} \end{eqnarray*}$ , die Menge aller Polynome mit Grad genau 2
$\begin{eqnarray*} V_{6} \end{eqnarray*}$ , die menge der Polynome mit Grad höchstens 2

Hier bin ich leider auch etwas ratlos. Können gewöhnliche Polynome Vektorräume darstellen? Und was hat das mit ihrem Grad zu tun?

Der Grad ist einfach nur eine Eigenschaft. Genau so wie das mit dem "ungerade" bei dem Beispiel vorher. Zeig einfach, dass die Summe zweier Polynome vom Grad höchstens 2 auch wieder höchstens Grad 2 hat, zum Beispiel. Dass $\begin{eqnarray*} V_5 \end{eqnarray*}$ kein Vektorraum ist, kannst du dir sehr leicht klar machen. Denk an den Nullvektor (der in diesem Fall die Nullfunktion ist).

Mit "Vektoren" meint man nicht den Vektor aus der Schule. Der Begriff wird hier abstrakter verwendet. "Vektoren" sind einfach Elemente eines Vektorraums. Das können natürlich auch die klassischen "Vektoren" aus der Schule sein, also z.B. Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , aber das können auch ganz andere Sachen sein, zum Beispiel Funktionen oder Matrizen oder sonstwas.

Es ist einfach so: Man nimmt sich eine Menge von irgendwelchen Elementen, definiert auf dieser Menge eine innere Verknüpfung (meistens Addition), legt dem Ganzen noch einen Körper zugrunde, aus dem man Skalare hernimmt für eine Skalarmultiplikation, und wenn dieses Gesamtpaket dann bestimmte Eigenschaften erfüllt (die Vektorraumaxiome), dann nennt man das Ding einen Vektorraum. Und die Elemente dieses Raumes nennt man dann "Vektoren".

08.03.2013, 12:29

Kris_

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Uff, danke, jetzt ist einiges klarer =) Du hast mir sehr geholfen!

Nur hier tappe ich noch ein bisschen im Unwissen:

Bei $\begin{eqnarray*} V_{3} \end{eqnarray*}$ meinst du, es könnte der Binomalkoeffizient sein.. Aber der ist doch zweidimensional und mein x befindet sich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Oder ist das jetzt vollkommener Blödsinn?

Danke

08.03.2013, 12:31

Mulder

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Zitat:

Original von Kris_
Bei $\begin{eqnarray*} V_{3} \end{eqnarray*}$ meinst du, es könnte der Binomalkoeffizient sein.. Aber der ist doch zweidimensional und mein x befindet sich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wie, "zweidimensional"? Der Binomialkoeffizient ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Und das ist einfach eine (natürliche) Zahl.

Falls das gemeint ist... aber alles andere macht keinen Sinn. Hat ein bisschen was von einer Fangfrage, diese Aufgabe. Ich finde sie eigentlich dämlich.

08.03.2013, 12:35

Che Netzer

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Ich bezweifle ja, dass der Binomialkoeffizient gemeint ist.
Vielmehr dürfte da eine Dimension durcheinandergeraten sein.
Entweder fehlt im Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}17\\83\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Komponente oder es sollte $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ heißen.

08.03.2013, 13:02

Kris_

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Hmm, das ergibt eigentlich Sinn (R2).. Aber was könnte es denn sein, wirklich der Nullvektor wie ich vermutet habe, oder Binomialkoeffizient?

Wenn der Binomialkoeffizient, wie zeige ich, ob diese Menge dann einen Vektorraum bildet oder nicht?

08.03.2013, 13:22

Mulder

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Zitat:

Original von Kris_
Aber was könnte es denn sein, wirklich der Nullvektor wie ich vermutet habe, oder Binomialkoeffizient?

Die Frage macht keinen Sinn. Und an Ratespielchen möchte ich mich eigentlich nicht unbedingt beteiligen. Kläre die Frage, was nun eigentlich genau gemeint ist. Zur Not bei deinem Tutor, wenn du die Aufgabe nicht falsch abgeschrieben hast.

Zitat:

Original von Kris_
Wenn der Binomialkoeffizient, wie zeige ich, ob diese Menge dann einen Vektorraum bildet oder nicht?

Wenn's der Binomialkoeffizient ist, dann vereinfacht sich das Ganze zu

$\begin{eqnarray*} V_{3} = \left\{x\in \mathbb R^{3}: x \cdot 0 = 0_V \right\} \end{eqnarray*}$

Und das ist trivialerweise für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Also ist das dann natürlich ein Vektorraum.

Aber eigentlich ist es sogar recht wahrscheinlich, dass eigentlich etwas anderes gemeint ist.

08.03.2013, 13:31

Kris_

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Na gut =) Danke auf jeden Fall für die Hilfestellung!

10.03.2013, 20:06

Agent 47

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Ergänzende Frage: Wie könnte man zum Beispiel die Basis von V1 bestimmen? Ich hab leider noch nicht ganz verstanden, wie das mit der Basisbestimmung funktioniert. Wäre toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!

10.03.2013, 22:00

Kris_

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Also so wie ich das verstanden habe:
Eine Zahl n ist die Dimension von V, bei V1 ist es 3, das bedeutet, es gibt in V ein System von genau n (hier:3) linear unabhängigen Vektoren. Jedes dieser Systeme von n linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis.
Das heißt, bei V1 suchst du drei Vektoren, die linear unabhängig sind - diese bilden eine Basis.

10.03.2013, 22:02

Che Netzer

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Wobei $\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ aber die Dimension Zwei hat.

11.03.2013, 19:31

Kris_

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Ja, danke, da bin dann auch noch drauf gekommen =)

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