Produkt-sigma-Algebra von Borel-sigma-Algebren bzgl Metrik

08.03.2013, 13:13	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt-sigma-Algebra von Borel-sigma-Algebren bzgl Metrik Hi, entschuldigt den etwas umständlichen Titel. Ich hoffe, es kommt raus, was gemeint ist. Seien $\begin{eqnarray} (E_i, d_i) \end{eqnarray}$ metrische Räume mit zugehöriger Borel-sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathfrak B(E_i) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} i = 1,2 \end{eqnarray}$ . Der Produktraum $\begin{eqnarray} E:=E_1 \times E_2 \end{eqnarray}$ wird zu einem metrischen (also auch topologischen) Raum durch die Wahl einer Produktmetrik, z.B. durch $\begin{eqnarray} d((x_1,x_2),(y_1,y_2)) := d_1(x_1,y_1)+d_2(x_2,y_2) \end{eqnarray}$ . Weiterhin bezeichne $\begin{eqnarray} \mathfrak B(E) \end{eqnarray}$ die zu dieser Topologie gehörende Borel-sigma-Algebra. Zeigen Sie: a) Stets gilt $\begin{eqnarray} \bigotimes_{i=1}^2 \mathfrak B (E_i) \subseteq \mathfrak B (E) \end{eqnarray}$ . b) Sind $\begin{eqnarray} E_1 , E_2 \end{eqnarray}$ separabel, so gilt $\begin{eqnarray} \bigotimes_{i=1}^2 \mathfrak B (E_i) = \mathfrak B (E) \end{eqnarray}$ . Ich glaube, dass mir diese Aufgabe so schwer fällt, weil ich noch Probleme beim Verständnis von sigma-Algebren habe. Deshalb habe ich mir erstmal versucht klarzumachen, wie die zwei betrachten sigma-Algebren aussehen: $\begin{eqnarray} \bigotimes_{i=1}^2 \mathfrak B (E_i) = \sigma ( \{A\times E_2 \| A\in \mathfrak B(E_1)\} \cup \{E_1\times A \| A\in \mathfrak B(E_2)\}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathfrak B (E) = \sigma (\{\bigcup B_r(x) \| r\in\mathbb R , x\in E\}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B_r(x) = \{y\in E \| d(y,x)<r\} \end{eqnarray}$ Zu a): Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray} \{A\times E_2 \| A\in \mathfrak B(E_1)\} \cup \{E_1\times A \| A\in \mathfrak B(E_2)\} \end{eqnarray}$ der kleinste Erzeuger von $\begin{eqnarray} \bigotimes_{i=1}^2 \mathfrak B (E_i) \end{eqnarray}$ ist oder dass ich zumindest nicht ohne weiteres einen kleineren finden kann. Also möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \{A\times E_2 \| A\in \mathfrak B(E_1)\} \cup \{E_1\times A \| A\in \mathfrak B(E_2)\}\subseteq \mathfrak B (E) \end{eqnarray}$ . Wegen Symmetrie reicht: $\begin{eqnarray} \{A\times E_2 \| A\in \mathfrak B(E_1)\} \subseteq \mathfrak B (E) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathfrak B(E_1) = \sigma (\{\bigcup B_r(x) \| r\in\mathbb R , x\in E_1\}) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} B_r(x) = \{y\in E_1 \| d_1(y,x)<r\} \end{eqnarray}$ An der Stelle weiß ich nicht weiter. Ich habe ja keine genaue Idee, was für Mengen in $\begin{eqnarray} \mathfrak B(E_1) \end{eqnarray}$ drin sind und weiß deshalb auch nicht, wie ich zeigen soll, dass jeweils ihr Produkt mit $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathfrak B (E) \end{eqnarray}$ drin ist. Für Hilfe bin ich wie immer sehr dankbar. Zu b): Ich meine mich zu erinnern, dass man zeigen kann, dass mit $\begin{eqnarray} E_1, E_2 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ separabel ist (ich weiß aber nicht mehr wie). Somit sind die Erzeuger der Borel-sigma-Algebren sogar schon die offenen Kugeln. Aber wie es dann weiterging weiß ich nicht. Zu b) habe ich mir auch bisher noch nicht so viele Gedanken gemacht. Bitte helft mir. Ich sitze schon seit einigen Stunden an der Aufgabe, komme aber nicht weiter. Viele Grüße David

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