Lösen von Differentialgleichungen

08.03.2013, 16:55

Kris_

Lösen von Differentialgleichungen

Hallo, alle zusammen =)

Ich habe die Aufgabe gestellt bekommen, drei Differentialgleichungen zu lösen. Leider habe ich das alles noch nicht so ganz durchschaut und bitte darum um Hilfe.

Hier also die Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} y' = 3y - x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3y - e^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = 3y - x - e^{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich es richtig verstanden habe, sind das lineare, inhomogene Gleichungen ersten Grades.

Ich muss also zuerst eine Lösung der homogenen Gleichung aufstellen und dann eine patrikuläre Lösung. Leider bin ich da komplett aufgeschmissen.

Vielleicht könntet ihr mir zumindest bei der ersten Gleichung helfen, ich schätze, die anderen sind analog zu lösen.

Danke!

08.03.2013, 17:28

zweiundvierzig

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Der homogene Teil der ersten Gleichung ist $\begin{eqnarray*} y' = 3y \end{eqnarray*}$ . Wie sehen hier die Lösungen aus? Die Lösung ergibt für die inhomogene Gleichung ergibt sich dann durch Variation der Konstanten, was Du in der Vorlesung schonmal gehört haben solltest.

08.03.2013, 18:12

Kris_

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So, ich muss das y auf die andere Seite bringen, dann integriere ich und bekomme nach Anwendung der Exponentialfunktion:

$\begin{eqnarray*} y(x) = ce^3x \end{eqnarray*}$

Soo, und jetzt, Variation der Konstanten...

Laut Skriptum, Ansatz für eine partikuläre Lösung:

$\begin{eqnarray*} z(x) = c(x)e^{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z'(x) = c'(x)e^{3x}+c(x)e^{3x}\cdot 3 \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss ich das c ausdrücken, dieses zusammen mit der Lösung für die homogene Gleichung sollte dann die allgemeine Lösung bilden.

Richtig?

08.03.2013, 18:26

zweiundvierzig

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Leicht vertippt in der ersten Zeile, sonst stimmt's. Wie geht's weiter?

08.03.2013, 18:29

Kris_

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Mein Problem ist gerade, dass ich c nicht ausdrücken kann - weil ich ja c' und c habe.. Wie mache ich das?

Und vertippt? Wo?

08.03.2013, 18:37

zweiundvierzig

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Hier fehlen Klammern:

Zitat:

Original von Kris_
$\begin{eqnarray*} y(x) = ce^3x \end{eqnarray*}$

Es muss gelten $\begin{eqnarray*} z'(x) = 3c(x)e^{3x}+ c'(x)e^{3x} \stackrel{!}{=} 3c(x)e^{3x} -x \end{eqnarray*}$ . Wie kannst Du daraus $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ermitteln?

08.03.2013, 18:44

Kris_

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Ah, ok, das habe ich übersehen.. In dem Fall kann ich umformen und mir kommt raus:

$\begin{eqnarray*} c'(x) = \frac{-x}{e^{3x} } \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich integrieren.. hmm, mit partieller Integration?

08.03.2013, 18:47

zweiundvierzig

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Sieht gut aus.

08.03.2013, 18:59

Kris_

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Guuut, also:

$\begin{eqnarray*} c(x) = \frac{1}{9}e^{3x}(3x+1) \end{eqnarray*}$

Das heißt, die allgemeine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} y(x) = ce^{3x} + \frac{1}{9}e^{3x}(3x+1) \end{eqnarray*}$

Bei den anderen Gleichungen mache ich es also genauso?
Wie ist es bei der dritten? Ich habe da ja zwei Terme, die noch dazukommen.

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