Weber-Transformation

08.03.2013, 17:19

Christian87545

Weber-Transformation

Meine Frage:
Liebes Forum,

Ich stehe vor folgender Aufgabenstellung:

Zeige durch explizite Rechnung in dreidimensionalen kartesischen Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{A} = \frac{1}{2} \nabla \mathbf{A^{2}} - \mathbf{A} \times \nabla \times \mathbf{A} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \mathbf{A} = \mathbf{A(x,y,z,t)=\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$ ein Vektorfeld ist.

Meine Ideen:
Ich gehe davon aus, dass in dieser Beziehung Klammern gesetzt werden können (da die Weber-Transformation in div. in der folgenden form mit Klammern dargestellt ist):
$\begin{eqnarray*} \left( \mathbf{A} \cdot \nabla \right) \mathbf{A} = \frac{1}{2} \nabla \mathbf{A^{2}} - \mathbf{A} \times \left( \nabla \times \mathbf{A}\right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die linke Seite berechne, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \left( \mathbf{A} \cdot \nabla \right) \mathbf{A} = \begin{pmatrix} (A \cdot \nabla )A_1 \\ (A \cdot \nabla )A_2 \\ (A \cdot \nabla )A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1\frac{\partial A_1}{\partial x} + A_2\frac{\partial A_1}{\partial y} + A_3\frac{\partial A_1}{\partial z} \\ A_1\frac{\partial A_2}{\partial x} + A_2\frac{\partial A_2}{\partial y} + A_3\frac{\partial A_2}{\partial z} \\ A_1\frac{\partial A_3}{\partial x} + A_2\frac{\partial A_3}{\partial y} + A_3\frac{\partial A_3}{\partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und auf der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \nabla \mathbf{A^2}-\mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \frac{1}{2} \nabla (A_1^2+A_2^2+A_3^2) - \mathbf{A} \times \begin{pmatrix} \frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z} \\ \frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x} \\ \frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y} \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{\partial A_1^2}{\partial x}+\frac{\partial A_2^2}{\partial x}+\frac{\partial A_3^2}{\partial x} \\ \frac{\partial A_1^2}{\partial y}+\frac{\partial A_2^2}{\partial y}+\frac{\partial A_3^2}{\partial y} \\ \frac{\partial A_1^2}{\partial z}+\frac{\partial A_2^2}{\partial z}+\frac{\partial A_3^2}{\partial z} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} A_2(\frac{\partial A_2}{\partial x} - \frac{\partial A_1}{\partial y} ) - A_3(\frac{\partial A_1}{\partial z} - \frac{\partial A_3}{\partial x} ) \\ A_3(\frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial x} ) - A_1(\frac{\partial A_2}{\partial x} - \frac{\partial A_1}{\partial y} ) \\ A_1(\frac{\partial A_1}{\partial z} - \frac{\partial A_3}{\partial x} ) - A_2(\frac{\partial A_3}{\partial y} - \frac{\partial A_2}{\partial z} ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Ich habe keine Idee wie ich die linke und die rechte Seite auf die selbe Form bringen könnte....

MfG

Christian

08.03.2013, 18:22

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Weber-Transformation
Ich habe das nicht nachgerechnet. Mir sind nur folgende Unstimmigkeiten aufgefallen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A} \cdot \nabla \mathbf{A} = \frac{1}{2} \nabla \mathbf{A^{2}} - \mathbf{A} \times \nabla \times \mathbf{A} \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} \nabla \end{eqnarray*}$ die Divergenz sein soll, dann ist $\begin{eqnarray*} \nabla \mathbf{A} \end{eqnarray*}$ ein Skalar.
Das entspricht nicht deinen Ausführungen und führt zu einem anderen Ergebnis.

Zitat:

und auf der rechten Seite:

Den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{\partial A_1^2}{\partial x}+\frac{\partial A_2^2}{\partial x}+\frac{\partial A_3^2}{\partial x} \\ \frac{\partial A_1^2}{\partial y}+\frac{\partial A_2^2}{\partial y}+\frac{\partial A_3^2}{\partial y} \\ \frac{\partial A_1^2}{\partial z}+\frac{\partial A_2^2}{\partial z}+\frac{\partial A_3^2}{\partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
kann man noch teilweise ausrechnen mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{\partial A_1^2}{\partial x} = \frac{2}{2} \frac{A_1 \partial A_1}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und anschließend mit dem zweiten Term auf der rechten Seite etwas zusammenfassen.

Frage: Soll $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}^2 = \mathbf{A}^T \cdot \mathbf{A} = A_1^2+A_2^2+A_3^2 \end{eqnarray*}$ sein?
Dies ist in meinen Augen eine sehr eigenwillige Vektormultiplikation.

Zur Schreibweise
$\begin{eqnarray*} div(\mathbf{A}) = \nabla \cdot \mathbf{A} \mbox{ reduziert die Tensorstufe } \\ grad(\mathbf{A}) = \nabla \otimes\mathbf{A} \mbox{ erhöht die Tensorstufe }\\ rot(\mathbf{A}) = \nabla \times\mathbf{A} \mbox{ nur für Vektoren aus } \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 11:28

Christian87545

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Frage: Soll $\begin{eqnarray*} \mathbf{A}^2 = \mathbf{A^T} \cdot \mathbf{A} = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 \end{eqnarray*}$ sein?

Ist nicht $\begin{eqnarray*} \mathbf{A^2} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 \end{eqnarray*}$ ?

MfG

09.03.2013, 12:19

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein!
Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbf{A} \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Zeilen und $\begin{eqnarray*} q\neq p \end{eqnarray*}$ Spalten ist, kann das Produkt $\begin{eqnarray*} \mathbf{A^2} \end{eqnarray*}$ nicht gebildet werden, da die Spaltenanzahl der ersten Matrix nicht gleich der Zeilenanzahl der zweiten ist.
Es gilt $\begin{eqnarray*} \mathbf{M}_{r,s} = \mathbf{A}_{r,q}\mathbf{B}_{q,s} \end{eqnarray*}$
Die Indizes geben die Anzahl der Zeilen, Spalten der jeweiligen Matrix an.

09.03.2013, 12:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte noch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial A_1^2}{\partial x}=2A_1\frac{\partial A_1}{\partial x} \end{eqnarray*}$ .
Setze das in deine Umformung der rechten Seite ein und fasse nur noch zusammen.

@zyko: Hier ist $\begin{eqnarray*} A^2=A\cdot A \end{eqnarray*}$ , wenn man mit $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ das (Standard-)Skalarprodukt bezeichnet.

09.03.2013, 12:50

zyko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer

@zyko: Hier ist $\begin{eqnarray*} A^2=A\cdot A \end{eqnarray*}$ , wenn man mit $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ das (Standard-)Skalarprodukt bezeichnet.

Ich bin schon lange aus dem Studium heraus.
Ich bezweifle dennoch, dass diese Schreibweise erlaubt ist; denn was soll dieser Ausdruck darstellen, wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine echte Matrix mit mehr als einer Zeile und Spalte ist?

09.03.2013, 13:12

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte das keine konsistente Definition, aber vor allem in der Physik ist dieses Quadrat eines Vektors schon üblich.

09.03.2013, 17:05

Christian87545

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Beachte noch $\begin{eqnarray*} \frac{\partial A_1^2}{\partial x}=2A_1\frac{\partial A_1}{\partial x} \end{eqnarray*}$

So funktionierts, danke schön smile

Mir ist aber nicht klar warum $\begin{eqnarray*} \frac{\partial A_1^2}{\partial x}=2A_1\frac{\partial A_1}{\partial x} \end{eqnarray*}$ gilt ?

MfG

Christian

09.03.2013, 17:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das ist dir klar, du merkst es bloß nicht (hoffe ich) Augenzwinkern

Das ist einfach die Kettenregel (mit der Potenzregel). Oder die Produktregel.

09.03.2013, 17:17

Christian87545

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.... An die Produktregel hab ich gar nicht gedacht Hammer

Danke nochmal

MfG

06.11.2021, 10:23

Gast_Name

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach 8 Jahren stoße ich auch auf die Aufgabe und möchte hier für alle späteren Generationen einmal die Lösung in der Einsteinnotation festhalten, die ich dann noch in Latex abgetippt habe.
Einstein-Notation siehe auch diesen großartigen Post https://matheplanet.com/default3.html?ca...ckduckgo.com%2F

Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \textbf{A} \cdot \nabla \textbf{A} &= \frac{1}{2}\nabla\textbf{A}^2-\textbf{A} \times(\nabla \times \textbf{A}) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \textbf{A} &= \begin{pmatrix} A_1 \\A_2 \\A_3 \end{pmatrix} = A_i \end{eqnarray*}$

Also schreiben wir mal die linke und rechte Seite um

Auf der linken Seite ist wichtig darauf zu achten, dass die Ableitung immer nach rechts wirkt und man daher $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ nicht einfach vorbeiziehen darf.
$\begin{eqnarray*} \textbf{A} \cdot \nabla \textbf{A} = (\textbf{A} \cdot \nabla) \textbf{A}= (\textbf{A} \cdot \nabla) A_i \hat{e_i}= A_j \partial_j A_i \hat{e_i} = \hat{e_i} A_j \partial_j A_i \end{eqnarray*}$

Rechte Seite mit Verwendung der Kettenregel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\nabla\textbf{A}^2 = \hat{e_i} \frac{1}{2} \partial_i A_j^2 = \hat{e_i} \frac{1}{2} \cdot 2 A_j \partial_i A_j= \hat{e_i} A_j \partial_i A_j \end{eqnarray*}$

und schließlich
$\begin{eqnarray*} \textbf{A} \times(\nabla \times \textbf{A}) &= \hat{e_i} \varepsilon_{ijk}A_j\ [(\nabla \times \textbf{A})]_k &= \hat{e_i} \varepsilon_{ijk}A_j\ \varepsilon_{klm}\partial_l A_m &= \hat{e_i} A_j\ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm}\ \partial_l A_m &=\hat{e_i} A_j\ \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk}\ \partial_l A_m &= \hat{e_i} A_j\ [\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}]\ \partial_l A_m &= \hat{e_i} A_j\ [\delta_{il}\delta_{jm}\partial_l A_m-\delta_{im}\delta_{jl}\partial_l A_m] &= \hat{e_i} [A_j\partial_i A_j-A_j\partial_j A_i] \end{eqnarray*}$

Und alles zusammensetzen
$\begin{eqnarray*} \textbf{A} \cdot \nabla \textbf{A} &= \frac{1}{2}\nabla\textbf{A}^2-\textbf{A} \times(\nabla \times \textbf{A}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat{e_i} A_j \partial_j A_i &= \hat{e_i}[A_j \partial_i A_j - (A_j\partial_i A_j-A_j\partial_j A_i)] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \hat{e_i} A_j \partial_j A_i &= \hat{e_i} A_j \partial_j A_i \end{eqnarray*}$

Fertig

Neue Frage »

Antworten »

Weber-Transformation

Verwandte Themen