Bernoulli-DGL

08.03.2013, 19:22

L.A.

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Bernoulli-DGL

$\begin{eqnarray*} y' + \frac{1}{x} y = -y² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -y² * z' + \frac{1}{x} y = -y² | : y² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - z' + \frac{1}{x} z = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' = 1 + \frac{1}{x} * z \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} z = e^{x} + x * K \end{eqnarray*}$

passt es?

08.03.2013, 20:50

Equester

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Deine zweite Zeile erscheint mir etwas konfus,
aber die vierte Zeile ist korrekt.
Die Lösung dieser linearen DGL passt allerdings nicht. Wie bringst du da die e-Funktion ins Spiel?

09.03.2013, 00:20

L.A.

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$\begin{eqnarray*} z' = 1 + \frac{1}{x} * z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{z'}{z} = \int 1 dx + \int \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(z) = x + ln(x) + ln (c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(z) - ln (c) = x + ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln (\frac{z}{c}) = x + ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = e^{x} + x * K \end{eqnarray*}$

Durch entlogarithmieren fällt bei mir der Log weg und ich bringe nur noch das C auf die Rechte Siete und schreib es als K.

09.03.2013, 01:01

Mulder

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} z' = 1 + \frac{1}{x} * z \end{eqnarray*}$

Wenn du da jetzt auf beiden Seiten der Gleichung durch z dividierst, erhälst du

$\begin{eqnarray*} \frac{z'}{z} = \frac{1}{z} + \frac 1 x \end{eqnarray*}$

Die Variablen sind damit nicht getrennt.

09.03.2013, 13:07

L.A.

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Stimmt!

smile

Ist 1, dann ein Störterm? Sprich muss ich die 1 erst weglassen?

09.03.2013, 13:34

Rabbi

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Vor der Beschäftigung mit nichtlinearen DGln. sollte man die Lösung von linearen DGln. wie
$\begin{eqnarray*} z'-\frac{z}{x}=1 \end{eqnarray*}$
verinnerlicht haben.

geschockt

geschockt

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09.03.2013, 13:42

L.A.

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Ich sag mal so, im Grunde habe ich lineare DGLs verstanden, manchmal aber noch unsicher smile

smile

09.03.2013, 14:15

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
Ich sag mal so, im Grunde habe ich lineare DGLs verstanden, manchmal aber noch unsicher smile

smile

Dann löse die inhomogene lineare DGl nach den Grundsätzen !

09.03.2013, 14:33

L.A.

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Meine homogene Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} z = e^{x} * K \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 14:38

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
Meine homogene Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} z = e^{x} * K \end{eqnarray*}$

unglücklich

traurig

Wie lautet die homogene DGl. ???

09.03.2013, 14:54

L.A.

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$\begin{eqnarray*} z'-\frac{z}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{z'}{z} = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Das soll nicht richtig sein? Die Variablen sind doch getrennt. Lesen1

Lesen1

09.03.2013, 15:02

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} z'-\frac{z}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Freude

Zitat:

Umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \frac{z'}{z} = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

geschockt

$\begin{eqnarray*} z'=\cdots\;??? \end{eqnarray*}$

Woher kommt das "dx" ? LOL Hammer

LOL Hammer

09.03.2013, 15:14

L.A.

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Ich habe es so verstanden:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$

Bei dieser Aufgabe, habe ich gesagt;

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$

Homogen war ja:

$\begin{eqnarray*} z' - \frac{z}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = \frac{z}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{z} = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich integrieren.

09.03.2013, 15:19

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
...

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{z} = \frac{1}{x} dx \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich integrieren.

Freude

09.03.2013, 15:24

L.A.

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Ja, da war ich vor knapp einer Stunde schon.

Bei mir kam raus:

$\begin{eqnarray*} z = e^{x} * K \end{eqnarray*}$

wobei ich beim Entlogarithmieren gepennt habe. Beim x hebt sich das e auch auf. Würde eher sagen:

$\begin{eqnarray*} z = x * K \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es aber passen! smile

smile

09.03.2013, 15:31

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
Ja, da war ich vor knapp einer Stunde schon.

Bei mir kam raus:

...

wobei ich beim Entlogarithmieren gepennt habe. Beim x hebt sich das e auch auf. Würde eher sagen:

$\begin{eqnarray*} z = x * K \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es aber passen! smile

smile

Freude

So, und jetzt die partikuläre Lösung !?

09.03.2013, 15:33

L.A.

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Da habe ich ich raus:

$\begin{eqnarray*} K = ln (x) \end{eqnarray*}$

Komplett:

$\begin{eqnarray*} z = x * K + ln (x) \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 15:41

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
Da habe ich ich raus:

$\begin{eqnarray*} K = ln (x) \end{eqnarray*}$

Komplett:

$\begin{eqnarray*} z = x * K + ln (x) \end{eqnarray*}$

Immer noch nicht ! unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} z_p \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 15:47

L.A.

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$\begin{eqnarray*} zp = x * K(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} zp' = x * K(x)' + K(x) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in:

$\begin{eqnarray*} z' - \frac{z}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x * K(x)' + K(x) - \frac{ x * K(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kürzt sich das x mit dem x und + K(x) - K(x) = 0 also

$\begin{eqnarray*} x*K(x)' = 1 \end{eqnarray*}$

Durch x teilen und integrieren:

$\begin{eqnarray*} K(x) = ln (x) \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 15:55

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
...

Durch x teilen und integrieren:

$\begin{eqnarray*} K(x) = ln (x) \end{eqnarray*}$

Schon mal was von einer Integrationskonstante gehört ? LOL Hammer

LOL Hammer

09.03.2013, 16:01

L.A.

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also:

$\begin{eqnarray*} z = x * K + ln (x) + C \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 16:08

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
also:

$\begin{eqnarray*} z = x * K + ln (x) + C \end{eqnarray*}$

unglücklich

Forum Kloppe

Mathematik (die Kunst des Lernens)
Wink

Wink

09.03.2013, 16:28

L.A.

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$\begin{eqnarray*} z = x * (ln (x) + ln (c)) \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 17:15

Rabbi

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Zitat:

Original von L.A.
$\begin{eqnarray*} z = x * (ln (x) + ln (c)) \end{eqnarray*}$

Na endlich ! smile

smile

Oder:
$\begin{eqnarray*} K(x)=\ln x \color{red} + C\\z_{allg}=x \cdot K(x)\\ \\z_{allg}=x \cdot \ln x + C \cdot x = \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

09.03.2013, 17:23

L.A.

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ok danke!

smile

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