Winkel zwischen 2 Vektoren

09.03.2013, 09:36

rasputin87

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Winkel zwischen 2 Vektoren

Hallo,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
2 Schiffe ziehen einen Eisberg.
Schiff A zieht mit 10^5 N mit 15° Ost Süd
Schiff B mit 2 * 10^2 N
Jetzt Soll ich Die Richtung zu Schiff B bestimmen.
Hinweis die positive X-Achse ist nach Süden ausgerichtet und 2 Dimensional
Skizze:
[attach]28941[/attach]
Ansatz:
Den Vektor von Schiff A bestimmen.
$\begin{eqnarray*} \vec{A} = \begin{pmatrix} 10^5 * sin 15° \\ 10^5 * cos 15° \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich jetzt Vektor B?
Danach könnte ich ja ganz leicht über Die Formel "Winkel ziwschen zwei Vektoren"
den Gesamtwinkel bestiimmen und dann den Winkel von B!

Lösung soll sein 7,4° West-Süd

09.03.2013, 17:14

HAB

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Leider sind die Richtungsangaben unvollständig.

09.03.2013, 17:37

riwe

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
die angaben genügen Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: $\begin{eqnarray*} \alpha\approx -7.4355° \end{eqnarray*}$ wie gewünscht Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2013, 17:43

HAB

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Aber nur dann, wenn man voraussetzt, dass sich der Eisberg nach Süden bewegt. Das steht aber nicht im Text.

09.03.2013, 17:44

riwe

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
das steht aber in der skizze, wenn man eben guten willens ist unglücklich

unglücklich

09.03.2013, 17:47

rasputin87

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Ja soll Richtung Süden gezogen werden.
Könnt ihr mir bitte euren Ansatz erläutern bzw ob ich soweit auf dem richtigen Weg bin?

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09.03.2013, 17:50

zyko

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Ich vermisse ebenfalls eine Angabe: z.B. Soll der Eisberg genau in Richtung Süden gezogen werden?

Du schreibst für Schiff A den Kraftvektor
$\begin{eqnarray*} \vec{A}%20=%20\begin{pmatrix}%2010^5%20*%20sin%2015%B0%20\\%2010^5%20*%20cos%2015%B0%20\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ich meine, du hast hier die x-Komponente mit der y-Komponente vertauscht; denn laut Zeichnung liegt der gegebene Winkel zwischen der x-Achse (Ankathede) und dem Kraftvektor.
Wenn der Eisberg nach Süden gezogen werden soll, dann muss die Kraftvektorsumme beider Schiffe eine 0 in der y-Komponente haben.

09.03.2013, 17:51

HAB

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Ich würde nicht so kompliziert rechnen.
Denk an ein Dreieck (Hälfte des Kräfteperallelogramms) in dem du zwei Seitenlängen und einen Winkel kennst.

09.03.2013, 17:52

Bürgi

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich jetzt in die Diskussion dränge, aber ich habe eine Verständnisfrage: Mit welcher Zugkraft hast Du bei Schiff B gerechnet?

(Zur Erläuterung meiner Frage: Eine Zugkraft von 2*10^2 N wie in der Aufgabe angegeben reicht um ein kleines Boot zu ziehen, aber nicht einen Eisberg.)

09.03.2013, 17:52

rasputin87

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren

Zitat:

Original von zyko
...
Wenn der Eisberg nach Süden gezogen werden soll, dann muss die Kraftvektorsumme beider Schiffe eine 0 in der y-Komponente haben.

Ja in Richtung Süden

Edit (mY+): Bitte nicht alles quoten, nur den relevanten Teil! Vollquote modifiziert.

09.03.2013, 17:53

HAB

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RE: Winkel zwischen 2 Vektoren
Nach einer Reise fast bis zum Äquator

09.03.2013, 17:56

riwe

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Zitat:

Original von rasputin87
Ja soll Richtung Süden gezogen werden.
Könnt ihr mir bitte euren Ansatz erläutern bzw ob ich soweit auf dem richtigen Weg bin?

$\begin{eqnarray*} R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =F_1\begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} +F_2\begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

aus der 2. vektorkomponente kannst du doch sofort den winkel berechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2013, 18:05

rasputin87

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Zitat:

[i]

$\begin{eqnarray*} R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich darauf?

09.03.2013, 19:06

HAB

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Richtung Süden =Richtung der x-Achse

09.03.2013, 19:21

rasputin87

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Dann so:

$\begin{eqnarray*} -F_2\begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} =F_1\begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} -R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder Wie?
Ich stehe voll auf dem Schlauch

09.03.2013, 20:55

Dopap

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Zitat:

Original von rasputin87
Dann so:

$\begin{eqnarray*} -F_2\begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} =F_1\begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} -R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das stimmt so schon. Ich würde in Sachaufgaben keine bekannten Grössen als Buchstaben belassen.

$\begin{eqnarray*} F_2\begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} +F_1\begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} =F_R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so ist die Summe besser zu erkennen, oder

$\begin{eqnarray*} 200kN \begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} +100 kN \begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} =F_R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt ist offensichtlich, dass 2 Gleichungen mit $\begin{eqnarray*} F_R \quad, \alpha \end{eqnarray*}$ entstehen.

10.03.2013, 09:37

rasputin87

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} F_2\begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} +F_1\begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} =F_R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 200kN \begin{pmatrix} cos\alpha \\ sin\alpha \end{pmatrix} +100 kN \begin{pmatrix} cos15\\sin15 \end{pmatrix} =F_R\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt ist offensichtlich, dass 2 Gleichungen mit $\begin{eqnarray*} F_R \quad, \alpha \end{eqnarray*}$ entstehen.

Und wie löse ich das jetzt auf um es zu lösen?

10.03.2013, 09:59

zyko

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Du hast nun zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .
Diese musst du lösen.

Erläuterung: Die erste Gleichung ist die Kräftesumme in x-Richtung, die zweite in y-Richtung.

10.03.2013, 10:18

rasputin87

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Also ich stelle die beiden Gleichungen auf:

$\begin{eqnarray*} 200kN * cos \alpha + 100kN * cos 15° = 1 * F_{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 200kN * sin \alpha + 100kN * sin 15° = 0 * F_{R} \end{eqnarray*}$

löse ich dass dann weiter als lineares Gleichungssystem oder denke ich da zu kompliziert?

10.03.2013, 21:33

Dopap

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1.) $\begin{eqnarray*} 200 \cos(\alpha) +96.593= F_R \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 200 \sin(\alpha) +25.882= 0 \end{eqnarray*}$

wartest lieber den ganzen Tag ?

aus 2.) folgt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

dann in 1.) einsetzen und fertig ist $\begin{eqnarray*} F_R \end{eqnarray*}$

11.03.2013, 09:43

rasputin87

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Vielen Dank!

11.03.2013, 10:37

HAB

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Nachdem diese Lösung wohl verstanden wurde möchte ich noch einmal auf meinen Vorschlag von oben zurückkommen.
In dem oberen Dreieck des Kräfteparallelogramms sind zwei Seiten und ein Winkel bekannt. Der gesuchte Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist nun sofort mit dem Sinussatz berechenbar.

11.03.2013, 10:52

rasputin87

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Zitat:

Original von HAB
Nachdem diese Lösung wohl verstanden wurde möchte ich noch einmal auf meinen Vorschlag von oben zurückkommen.
In dem oberen Dreieck des Kräfteparallelogramms sind zwei Seiten und ein Winkel bekannt. Der gesuchte Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist nun sofort mit dem Sinussatz berechenbar.

Die Lösung rockt natürlich smile

smile

Geht Superschnell!
Danke

11.03.2013, 15:23

Dopap

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schön wenn es so auch klappt.
Man braucht dann eben eine gute Skizze.

Der von den meisten favorisierte Ansatz ist allgemeiner und erfordert "kein" Nachdenken.
Sobald es noch ein wenig komplizierter, z.B. keine ebenen Figuren = im Raum, dann sehr zu empfehlen.

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