Struktur elliptischer Kurven

09.03.2013, 13:01

Helmut1234

Struktur elliptischer Kurven

Ich habe ein Problem mit einigen Folgerungen, die in der Vorlesung bei der Bestimmung der Struktur elliptischer Kurven getroffen wurden.

Verwendet wird folgender Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb Z _{>0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} char(K)=p \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} p \not | m \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} E[m] \cong \mathbb Z / m \mathbb Z \times \mathbb Z / m \mathbb Z \end{eqnarray*}$
Sonst: $\begin{eqnarray*} E[p^e]=\{0\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} e=0,1,2,\ldots \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} E[p^e]\cong \mathbb Z/p^e \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} e=0,1,2,\ldots \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} E[n]=\{P\in E(\bar K) | nP=0\} \end{eqnarray*}$ für beliebigen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

Erste Frage: Was ist mit $\begin{eqnarray*} E[n\cdot p^s] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p\not |n \end{eqnarray*}$ ? Kann man dafür auch eine Struktur angeben?

Nun wird wie folgt argumentiert:

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist nun ein beliebiger (nicht notwendig alg. abg.) Körper und $\begin{eqnarray*} char(K)=p \end{eqnarray*}$ .
Ist $\begin{eqnarray*} E(K)=n \end{eqnarray*}$ endlich, gilt $\begin{eqnarray*} E(K) \subset E[n] \end{eqnarray*}$ . Das ist klar, denn die Ordnung eines beliebigen Punktes in $\begin{eqnarray*} E(K) \end{eqnarray*}$ ist ein Teiler der Gruppenordnung nach Lagrange.

Nun folgt mit obigem Satz und dem Struktursatz für endliche abelsche Gruppen:

$\begin{eqnarray*} E(K) \cong \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_1 | d_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1 \cdot d_2 = n \end{eqnarray*}$ .

Hierzu eine Unklarheit: Die grundlegende Struktur folgt aus dem Struktursatz. Obiger Satz liefert, dass es 2 Gruppen rechts sind, falls $\begin{eqnarray*} p \not | n \end{eqnarray*}$ , sonst (falls $\begin{eqnarray*} n=p^e \end{eqnarray*}$ ) hat man rechts keine bzw. 1 Gruppe (also $\begin{eqnarray*} d_1=d_2=1\Rightarrow e=0 \end{eqnarray*}$ (was ist mit den anderen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ 's?) im ersten Fall und $\begin{eqnarray*} d_1=1,d_2=p^e \end{eqnarray*}$ im zweiten Fall), und für die verbliebenen Fälle siehe erste Frage, da weiß ich nicht, wie $\begin{eqnarray*} E[n] \end{eqnarray*}$ aussieht.

Außerdem muss gelten $\begin{eqnarray*} p \not | d_1 \end{eqnarray*}$ .

Begründung: Angenommen $\begin{eqnarray*} p | d_1 \Rightarrow \mathbb Z / p \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \subset E(K) \cap E[p] \subset E[p] \end{eqnarray*}$ im Widerspruch zum obigen Satz.

Weitere Frage: Die Inklusion rechts ist klar, sowie der Widerspruch ( da die Gruppe rechts entweder $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cong \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ). Warum gilt aber die Inklusion links? Ich vermute, dass es daran liegt, dass die Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} pP=0 \forall P \in E(K) \end{eqnarray*}$ gilt, etwas damit zu tun hat.

Vielen Dank

09.03.2013, 19:18

gsb

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Hallo,

1) für (n,m)=1 gilt $\begin{eqnarray*} E[nm]\cong E[n] \times E[m] \end{eqnarray*}$

2) Hier versteh ich nicht ganz worauf du rauswillst.
Es gibt aber zyklische E(K) mit $\begin{eqnarray*} p \not | n \end{eqnarray*}$ z.B.
$\begin{eqnarray*} E: y^2=x^3-43x+166 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} |E(\mathbb F_3 )|=|E(\mathbb Q)|=7 \end{eqnarray*}$ also zyklisch.
(Bsp. VIII,Ex 7.4 aus Silverman)

Ich versteh aber nicht wie du auf $\begin{eqnarray*} d_1=d_2=1 \end{eqnarray*}$ kommst. Insbesondere wäre ja dann n=1.

3)

Zitat:

Ich vermute, dass es daran liegt, dass die Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} pP=0 \forall P \in E(K) \end{eqnarray*}$ gilt, etwas damit zu tun hat.

Das ist es auch.
Meiner Erfahrung nach unterscheiden die meisten Zahlentheoretiker kaum zwischen $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ .
Das [latex\subset[/latex] sollte hier gelesen werden als:
Ist isomorph zu einer Untergruppe von ...

09.03.2013, 21:25

Helmut1234

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OK, zu (1):

Ich habe zwar zuerst an den Chinesischen Restsatz gedacht, aber für den braucht man Ringe, E(K) ist ja nur eine abelsche Gruppe. Also habe ich mir einen isomorphen Gruppenhomomorphismus überlegt:

Sei $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ , dann: $\begin{eqnarray*} \phi: E[nm]\rightarrow E[n] \times E[m], P\mapsto(mP,nP) \end{eqnarray*}$ ist ein Gruppenisomorphismus. Homomorph und injektiv über den Kern einfach nachrechnen (dabei $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ verwenden). Surjektiv war aufwändiger: Da $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} am+bn=1 \end{eqnarray*}$ . Diese Koeffizienten genötigt man. Sei $\begin{eqnarray*} (A,B) \in E[n] \times E[m] \end{eqnarray*}$ , dann betrachte $\begin{eqnarray*} P:=nb^2A+ma^2B \end{eqnarray*}$ .

Dadurch hat sich meine Frage in (2) geklärt. Mir war die Fallunterscheidung nach $\begin{eqnarray*} p|n \end{eqnarray*}$ nicht ganz klar, aber soweit ich das jetzt sehe, ist der einzige Beitrag des Satzes der, dass man im Struktursatz maximal 2 Faktorgruppen hat (oder ???).

Das mit dem $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ war so gedacht: Falls $\begin{eqnarray*} n=p^e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E[p^e]=\{0\} \end{eqnarray*}$ , dann müssen $\begin{eqnarray*} d_1=d_2=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Mit (3) komme ich noch nicht ganz klar. Warum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / p \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die (eindeutig bestimmte ??? ) Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} p(a,b)=(0,0) \forall (a,b) \in \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Die Bedingung sagt ja nur, dass die Ordnungen der Elemente $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilen müssen also wäre doch auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 1 \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ denkbar. Dann gibt es allerdings keinen Widerspruch.

09.03.2013, 21:31

Helmut1234

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Nachtrag:

Das Beispiel habe ich in meinem Silverman nicht finden können. Verwendest du "The Arithmetic of Elliptic Curves", 2. Auflage?

10.03.2013, 10:25

gsb

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Zitat:

Original von Helmut1234

Sei $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ , dann: $\begin{eqnarray*} \phi: E[nm]\rightarrow E[n] \times E[m], P\mapsto(mP,nP) \end{eqnarray*}$ ist ein Gruppenisomorphismus. Homomorph und injektiv über den Kern einfach nachrechnen (dabei $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ verwenden). Surjektiv war aufwändiger: Da $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} am+bn=1 \end{eqnarray*}$ . Diese Koeffizienten genötigt man. Sei $\begin{eqnarray*} (A,B) \in E[n] \times E[m] \end{eqnarray*}$ , dann betrachte $\begin{eqnarray*} P:=nb^2A+ma^2B \end{eqnarray*}$ .

Surjektiv kannst du dir hier doch sparen: Es liegen zwei endliche Gruppen gleicher Ordnung vor.
Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} m \perp n \end{eqnarray*}$ hab ich noch nie gesehen. Wo ist die her

Zitat:

Mit (3) komme ich noch nicht ganz klar. Warum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / p \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die (eindeutig bestimmte ??? ) Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} p(a,b)=(0,0) \forall (a,b) \in \mathbb Z / d_1 \mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Die Bedingung sagt ja nur, dass die Ordnungen der Elemente $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilen müssen also wäre doch auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 1 \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ denkbar. Dann gibt es allerdings keinen Widerspruch.

Vielleicht sollten wir das Ganze mal anders formulieren:
Ist $\begin{eqnarray*} p|d_1 \end{eqnarray*}$ so hat E[n] eine Untergruppe die isomorph ist zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (da dies ja auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/d_1\mathbb Z \times \mathbb Z / d_2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt).

Ich hab nur die 1. Auflage vor mir liegen.
Wenn ich mich recht entsinne sagt das Vorwort der 2. Auflage doch, dass die Nummerierung beibehalten wurde verwirrt

10.03.2013, 20:20

Helmut1234

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Natürlich: Beide Gruppen haben $\begin{eqnarray*} n^2 \cdot m^2 \end{eqnarray*}$ viele Elemente, damit ist es viel leichter :-)

$\begin{eqnarray*} m \perp n \Leftrightarrow ggT(n,m)=1 \end{eqnarray*}$ , das kommt aus unserer Vorlesung.

Achso! Dann ist es mehr oder weniger egal, wie die linkte Seite von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / p \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \subset E(K) \cap E[p] \subset E[p] \end{eqnarray*}$ aussieht, solange es nur 2 Faktorgruppen sind. Und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / p \mathbb Z \times \mathbb Z / p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bietet sich an, da diese Untergruppe sowieso (isomorph) enthalten ist.

Vielen Dank

10.03.2013, 20:26

Helmut1234

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Moment: Solange ich nicht weiß, dass $\begin{eqnarray*} E[nm]\cong E[n] \times E[m] \end{eqnarray*}$ , kenne ich die Größe der der 2 Gruppen nicht. Insbesondere klappt das mit $\begin{eqnarray*} n^2 \cdot m^2 \end{eqnarray*}$ nur, wenn $\begin{eqnarray*} p \not |n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \not | m \end{eqnarray*}$ . Sonst kann ich die Größe von $\begin{eqnarray*} E[a\cdot p^s] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \perp p \end{eqnarray*}$ nicht bestimmen, denn dazu bräuchte ich ja gerade $\begin{eqnarray*} E[nm]\cong E[n] \times E[m] \end{eqnarray*}$ .

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