Konvergenz von n/4^n beweisen

09.03.2013, 17:54	Flippa	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von n/4^n beweisen Hallo, ich muss fürs Studium folgende Aufgabe lösen: Es geht darum, die Konvergenz einer Folge zu beweisen: Man zeige, dass die Folge $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N (\varepsilon) \end{eqnarray}$ angebe. $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n}{4^{n}} \end{eqnarray}$ Anleitung: Zeigen Sie zunächst $\begin{eqnarray} n < 2^n \end{eqnarray}$ . Dass $\begin{eqnarray} n < 2^n \end{eqnarray}$ für alle n ist, hab ich mit vollständige Induktion bewiesen und war auch kein Problem. Dadurch, dass $\begin{eqnarray} 4^n \end{eqnarray}$ schneller wächst als $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , lässt sich vermuten, dass die Folge gegen Null konvergiert. Annahme: a = 0 Beweis: $\begin{eqnarray} \|a_{n} - 0\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n}{4^n} < \varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n < \varepsilon 4^n = \varepsilon * (2^2)^n = \varepsilon * 2^{2n} = \varepsilon * (2^n)^2 \end{eqnarray}$ Jetzt kommt mein Problem: In der Angabe war ja extra angegeben, dass man $\begin{eqnarray} n < 2^n \end{eqnarray*}$ beweisen soll. Also muss ich dass irgendwie nutzen, um n auszudrücken. Aber wie? Hab schon Stunden lang überlegt, bin aber zu keiner Lösung gekommen. Hat jemand eine Idee? Danke im Voraus MfG
09.03.2013, 18:24	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von n/4^n beweisen Du sollst beweisen, dass $\begin{eqnarray} n < \varepsilon 4^n = \varepsilon * (2^2)^n = \varepsilon * 2^{2n} = \varepsilon * (2^n)^2 \end{eqnarray}$ für genügend große n war ist. Es gilt doch $\begin{eqnarray} \varepsilon * (2^n)^2 = 2^n \cdot (\varepsilon \cdot 2^n) \end{eqnarray}$ außerdem ist epsilon fest also gibt es ein N mit: $\begin{eqnarray} \forall n>N: 1 < \varepsilon \cdot 2^n \end{eqnarray*}$ Kommst du damit weiter?
09.03.2013, 19:02	Flippa	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Ah, jetzt wird mir auch klar, wie die Anleitung bei der Angabe zu verwenden ist. Demnach müssten die weiteren Schritte wie folgt aussehen: $\begin{eqnarray} n < 2^n \varepsilon * 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n < n * \varepsilon * 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 < \varepsilon * 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\varepsilon} < 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ld(\frac{1}{\varepsilon}) < n \end{eqnarray*}$ Hoffe, ich habs richtig verstanden.
10.03.2013, 01:28	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ld der logarithmus zur Basis 2 ist, ist es im wesentlichen richtig, allerdings willst du die oberste Zeile beweisen. Also: Sei $\begin{eqnarray} 2^N > \frac 1 \varepsilon \end{eqnarray}$ (Das es so ein N gibt, sollte klar sein. (Es ist daher nicht nötig, dieses N tatsächlich zu berechnen )) Daher gilt für alle n>N: $\begin{eqnarray} 2^n > 2^N > \frac 1 \varepsilon \end{eqnarray}$ also gilt $\begin{eqnarray} \forall n>N: 1 < \varepsilon \cdot 2^n \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} \forall n>N: n < n \cdot \varepsilon \cdot 2^n \end{eqnarray}$ Und wegen $\begin{eqnarray} n<2^n \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \forall n>N: n < n \cdot \varepsilon \cdot 2^n < 2^n \cdot \varepsilon \cdot 2^n = \varepsilon \cdot 4^n \end{eqnarray}$ Und damit haben wir endlich: $\begin{eqnarray} \forall n>N: a_n = \frac n {4^n} < \varepsilon \end{eqnarray}$ woraus sofort die gewünschte Konvergenz folgt.
10.03.2013, 11:12	Flippa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstehe. Danke für deine Hilfe! MfG

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