Beschränkte holomorphe Funktion im Einheitskreis

09.03.2013, 18:32

Anni92

Beschränkte holomorphe Funktion im Einheitskreis

Meine Frage:
Nabend,

stehe vor folgender Aussage:

"Eine im Einheitskreis holomorphe und beschränkte Funktion ist ein Polynom."

Als erstes: Ich das richtig?
zweitens: wie zeige ich das?

Meine Ideen:
Also ich jetzte den Satz von Liouville und Abschätzungen für die Koeffizienten (die aus der Integralformel von Cauchy folgen). Nützt das was? Ferner weiß ich, dass jeder holomorphe Funktion in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Kann diese Dinge noch nicht miteinander verknüpfen, daher bitte ich im Tipps.

Grüßi

Anni

09.03.2013, 19:10

Leopold

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Eine auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe stetige Funktion ist dort schon beschränkt (Kompaktheitsargument), ihre Restriktion auf die offene Einheitskreisscheibe also auch.

09.03.2013, 20:08

anni92

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Hey,

wie ist jetzt der Zusammenhang zum Polynom?

10.03.2013, 20:06

anni92

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so trivial?

11.03.2013, 08:26

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f(z) = \operatorname{e}^{11 z^2 + 3 \operatorname{e}^z - 2013 z \sin z} \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ stetig, also auf der kompakten Menge $\begin{eqnarray*} |z| \leq 1 \end{eqnarray*}$ beschränkt, also erst recht für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ . Holomorphie uninteressant.

11.03.2013, 10:21

anni92

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Also ist doch obige Aussage falsch? So ein Gegenbeispiel habe ich mir auch überlegt aber ich ziete mal einen Satz auch einem Buch (Bierberbach, Analytische Forsetzung S. 115):
,,eine Reine herauskommt,[...],die aber nun eine im Einheitskreis beschränkte Funktion darstellt. Da dann die Koeffizienten den Grenzwert 0 haben müssen, so müssen soe von einer gewissen Nummer an alle verschwinden."

Für mich klingt das stark nach einem Polyom. Also was ich nun richtig?

11.03.2013, 11:23

RavenOnJ

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Du kannst ja mal einen Scan der Seite(n) posten, oder einen umfassenderen Kontext. Vielleicht liegt ein Missverständnis vor.

11.03.2013, 11:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von anni92
,,eine Reine herauskommt,[...],die aber nun eine im Einheitskreis beschränkte Funktion darstellt. Da dann die Koeffizienten den Grenzwert 0 haben müssen, so müssen soe von einer gewissen Nummer an alle verschwinden."

Das [...] steht hier für den äußerst wichtigen Nebensatz "die auch nur endlich viele verschiedene Koeffizienten hat".

11.03.2013, 12:23

anni92

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Auhhh..löst das eine Problem aber nicht mein gesamtes :-). Ich erkläre mal, warum ich das ganze eigentlich haben wollte: Ich betrachte

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \end{eqnarray*}$ mit Konvergenzradius mindestens 1.

Setze $\begin{eqnarray*} \Lambda(f):=\{n\colon a_n\neq 0\} \end{eqnarray*}$

und formal

$\begin{eqnarray*} f_{-1}(z)=\sum_{n\in \Lambda(f)}^{\infty} a_n^{-1} z^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sollen beide Funktionen holomorph sein im Kreis mit Radius= $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ >1 ohne die k-ten Einheitswureln für feste natürliche Zahl k.

Behauptung: Falls der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ oder der von $\begin{eqnarray*} f_{-1} \end{eqnarray*}$ echt größer 1 ist, so muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Polynom sein.

Ideen: Ist einer der beiden Radien echt größer 1, so heißt das erstmal, dass die Singularitäten (die Einheitswurzeln) hebbar sind, also ist die jeweilige Funktion im gesamten Kreis holomorph. Aber wie ich jetzt auf ein Polynom komme, keine Ahnung.

11.03.2013, 14:09

RavenOnJ

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Wenn der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ echt größer als 1 ist, dann müssen die $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ hinreichend schnell gegen 0 gehen mit $\begin{eqnarray*} \lvert\Lambda(f)\rvert =\infty \end{eqnarray*}$ oder ab einem bestimmten N muss $\begin{eqnarray*} a_n=0, \forall n> N \end{eqnarray*}$ sein, damit $\begin{eqnarray*} \lvert\Lambda(f)\rvert \end{eqnarray*}$ endlich bleibt. Im ersten Fall würden aber die Kehrwerte $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten M größer als 1 werden, sodass der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} f_{-1}(z) < 1 \end{eqnarray*}$ sein muss. Es bleibt also nur die zweite Möglichkeit, $\begin{eqnarray*} \lvert\Lambda(f)\rvert <\infty \end{eqnarray*}$ und damit muss $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ein Polynom sein.

12.03.2013, 07:50

anni92

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Hey,
danke für die Antwort. Habe leider nocht nicht alles verstanden:

1. Hinreichend schnell gegen Null

Da der Konvergenzradius R echt größer 1, wähle $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} 1+\delta<R \end{eqnarray*}$ . Auf $\begin{eqnarray*} |z|=1+\delta \end{eqnarray*}$ ist f beschränkt, also gilt für die Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} |a_n|\leq \frac{M}{(1+\delta)^n}\to 0 \ (n\to \infty) \end{eqnarray*}$

Geht das so, oder irgendwie schneller?

2. Wieso muss im Fall 1. $\begin{eqnarray*} |\Lambda(f)|=\infty \end{eqnarray*}$ gelten?
Wähle Folge $\begin{eqnarray*} (1,0,\dots,0,\dots) \end{eqnarray*}$ . Dann ist 1. erfüllt und ich habe ein Poylnom. Das klingt ja fast, was du sagst, aber den Satz "damit $\begin{eqnarray*} \Lambda(f)| \end{eqnarray*}$ endlich bleibt" verstehe ich nicht.

Sind wir im ersten Fall, passt das mit den Kehrwerten und der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} f_{-1}<1 \end{eqnarray*}$ . Wo ist der Widerspruch? Ich habe doch nur angenommen, dass einer von beiden Radien echt größer 1 sein soll und nicht beide!?!

Danke schonma für die Unterstützung!

12.03.2013, 08:24

RavenOnJ

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Das Ganze war nicht als Beweis zu verstehen, sondern nur eine Ideenskizze. Nachdem ich deine Postings nochmal gelesen habe, wahrscheinlich falsch. Kannste also (vermutlich) in die Tonne kloppen.

Zitat:

Original von anni92
Jetzt sollen beide Funktionen holomorph sein im Kreis mit Radius= $\begin{eqnarray*} \rho > 1 \end{eqnarray*}$ ohne die k-ten Einheitswureln für feste natürliche Zahl k.

Das hatte ich dann missverstanden. Ich hatte angenommen, dass du mit "Radius" den Konvergenzradius der Potenzreihe meinst und damit den Radius des Kreises, auf dem die Funktionen beide holomorph sind. Das "ohne die k-ten Einheitswureln für feste natürliche Zahl k" hatte ich dabei übersehen.

Was meinst du mit "Radius"? Und bedeutet "ohne die k-ten Einheitswureln für feste natürliche Zahl k", dass dort Polstellen sein können oder sein müssen? Und welche Art von Polstellen? Oder gar keine Pole, nur Definitionslücken?

12.03.2013, 08:59

anni92

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Also nochmal von vorne :-)

Sei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl und $\begin{eqnarray*} A_k:=\{z_j=e^{2\pi i j/k}\colon j=0,\dots,k-1\} \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} f,f_{-1} \end{eqnarray*}$ holomorph in $\begin{eqnarray*} D_\rho \backslash A_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D_\rho=\{|z|\leq \rho\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \rho\in (1,\infty] \end{eqnarray*}$ . Die Konvergenzardien seien $\begin{eqnarray*} R_{+},R_{-}\geq 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_{-} \end{eqnarray*}$

Behauptung:

Ist $\begin{eqnarray*} R_{+}>1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} R_{-}>1 \end{eqnarray*}$ , "then it is easy to see", $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ein Polynom.

Was die Ausnahme Punkte $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ sind, also welche Art von Singularität oder Definitionslücke, das ist nicht angegeben.

12.03.2013, 14:45

anni92

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keine idee mehr?

27.03.2013, 10:15

RavenOnJ

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Ich greife das nochmal auf.

Annahme: $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ sei kein Polynom, die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n z^n \end{eqnarray*}$ bricht also nicht ab. Es gilt nun für die Konvergenzradien $\begin{eqnarray*} R_+,R_- \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(z),f_-(z) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac1{R_-} = \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\lvert a_n^{-1}\rvert}} = \frac{1}{\mathop{\mathrm{lim\,inf}}\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}}} \ge \frac{1}{\mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}}} = R_+ \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} 1\ge R_+\cdot R_- \end{eqnarray*}$ . Da nun $\begin{eqnarray*} R_+,R_- \ge 1 \end{eqnarray*}$ , muss $\begin{eqnarray*} R_+=R_- =1 \end{eqnarray*}$ sein. Ist also einer der beiden Konvergenzradien größer als 1, dann ist dies ein Widerspruch, die Annahme kann dann nicht gelten, die Potenzreihe muss also irgendwann abbrechen. Damit muss $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ein Polynom sein.

Welche Rolle die fehlenden Definitionsstellen auf dem Einheitskreis haben, ist mir dabei allerdings nicht klar.

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