Kern Matrix

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09.03.2013, 21:30	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern Matrix Meine Frage: Hallo ich habe eine frage zu einer Aufgabe: Gegeben sei die Matrix A := a) Bestimmen Sie den Kern von A. b) Welchen Rang hat A und welche Dimension hat der Kern von A? Verifzieren Sie die Dimensionsformel. Wie muss ich hier vorgehen? Meine Ideen: keine
09.03.2013, 22:07	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 3 & 3 & 4&1 \\ 2 & 1 & 1&1 \\ 2 & 0 & 0&-2 \\3&3&4&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gesucht $\begin{eqnarray} A\cdot \vec v = \vec 0 \end{eqnarray}$ also die Lösungsmenge des homogenen Systems.
10.03.2013, 09:15	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich zuerts den Gauß Algorithmus anwenden?
10.03.2013, 10:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst die Lösungsmenge des Gleichungssystems $\begin{eqnarray} A\cdot v=0 \end{eqnarray}$ bestimmen. Wie du das machst, ist letztendlich egal (auch wenn sich der Gaußalgorithmus dafür natürlich anbietet).
10.03.2013, 10:54	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich bekomme nach dem Gauß Algorithmus das raus: DAnn könnte ich doch sagen x4 = t oder? Und dann versuchen das LGS zu lösen , oder wie soll ich genau vorgehen?
10.03.2013, 11:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du sollst das LGS vollständig lösen.
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10.03.2013, 11:12	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber wie löse ich das ? x4 =t 3 Gleichung: -x1 - x2 -3t = 0 x1 = -x2 -3t in 2 Gleichung eingesetzt: -2x2 -6t +x2 +x3 + t = 0 Aber ich komm irgendwie nicht weiter.
10.03.2013, 11:18	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch bestimmt schonmal ein unterbestimmtes Gleichungssystem gelöst, oder? Mit $\begin{eqnarray} x_4=t \end{eqnarray}$ ergibt sich: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 3 & 3 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Bringe diese Matrix jetzt auf strikte Zeilenstufenform und du kannst den Lösungsvektor bzw. Lösungsraum direkt ablesen.
10.03.2013, 11:55	Post	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf zeilenstufenform habe ich es doch schon gebracht. Oder was meinst du?
10.03.2013, 11:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst es ja auch nicht nur auf Zeilenstufenform sondern auf strikte Zeilenstufenform bringen, evtl. wird das bei euch auch reduzierte Zeilenstufenform genannt. Daran kann man dann die Lösung direkt ablesen.
10.03.2013, 12:02	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo soll ich dafür noch 0 en schaffen?
10.03.2013, 12:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch im linken Teil noch genügend Möglichkeiten 0en zu schaffen...
10.03.2013, 12:25	post	Auf diesen Beitrag antworten »
So? Wie gehe ich weiter vor?
10.03.2013, 12:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch noch immer genügend Möglichkeiten auf der linken Seite 0en zu erzeugen. Achte aber darauf, dass du jetzt auch den Ergebnisvektor korrekt mitnimmst. Weiter solltest du mal ein paar Schritte selber vorlegen anstatt nach jeder kleinen Addition nach weiteren Tipps zu fragen, dir wurde schon häufiger gesagt, dass im Hochschulbereich durchaus auch selber überlegt und gearbeitet werden kann (und soll).
10.03.2013, 13:20	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht es so?
10.03.2013, 13:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist so schwer daran, das Gleichungssystem bzw. die Matrix auf reduzierte Zeilenstufenform zu bringen? Liest du meine Beiträge überhaupt? Nimm dir die Matrix aus meinem Beitrag von 11:18 und bringe diese auf reduzierte Zeilenstufenform. Schlage notfalls nach, wie die reduzierte Zeilenstufenform aussehen soll. Viel mehr kann man da eigentlich nicht zu sagen, du musst jetzt aber endlich mal machen.
10.03.2013, 13:58	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme das raus: x1 = 0 x2 = -3t x3 = 2t x4= t Stimmt das ?
10.03.2013, 15:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt so nicht. Du musst bei der weiteren Berechnung jetzt auch den Lösungsvektor beachten und damit weiterrechnen.
10.03.2013, 15:25	post	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind jetzt meine Werte falsch oder wie Iorek?
10.03.2013, 15:42	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das so nicht stimmt, werden die Werte wohl falsch sein...damit das hier endlich mal zu irgendwas kommt: Wir fangen an mit: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 3 & 3 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Jetzt addieren wir die vierte Zeile dreimal zur dritten Zeile, damit die $\begin{eqnarray} -3 \end{eqnarray}$ in der Zeile wegfällt. Dann sieht unsere Matrix so aus: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 3 & 3 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 3t \\ 0 & 0 & 0 & 1 & t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Jetzt kann man die vierte Zeile einmal von der zweiten Zeile abziehen: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 3 & 3 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & -t \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 3t \\ 0 & 0 & 0 & 1 & t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Das machst du jetzt solange, bis du links in der Matrix die Einheitsmatrix stehen hast, rechts steht dann deine Lösung.

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