Taylor

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10.03.2013, 09:49	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor Meine Frage: Hallo ich habe eine frage zu einer Aufgabe: Gegeben sei die Fuunktion: f. R \{0}pfeil R mit f(x) = $\begin{eqnarray} (x+2)e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie das Taylorpolynom T1(x, x0) 1. Ordnung von f im Entwicklungspunkt x0 = 1 und zeigen Sie, dass für alle x Element [1, 2] gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x) - T_{1} (x,1)\leq 6e(x-1)^2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz: f(0) = 2 f`(0) = $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{x} } - \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x} }(x+2) \end{eqnarray}$ = 2 Stimmt es soweit ? Soll ich jetzt das Taylorpolynom aufstellen?
10.03.2013, 10:06	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor Du sollst das Taylorpolynom um $\begin{eqnarray} x_0=1 \end{eqnarray}$ entwickeln. Dazu brauchst du $\begin{eqnarray} f^{(n)}(1) \mbox{ für } n\in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ . Also f(1), f'(1) usw.
10.03.2013, 10:29	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
f(1) = 3e f`(1) = 0 Stimmt es so ?
10.03.2013, 11:06	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre doch dann mein taylorpolynom erster ordnung oder? $\begin{eqnarray} T_{1}(x,1) = \frac{3e}{0!}(x-1)^0 + \frac{0}{1!} (x-1) \end{eqnarray}$
11.03.2013, 11:49	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne deine Ableitung f'(1) nochmals aus.
11.03.2013, 21:35	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt für f´(1) = 2e raus? Dann würde mein Taylorpolynom so aussehen oder?
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12.03.2013, 11:57	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
f´(1) = 2e ist falsch. Vorzeichen beachten. Außerdem $\begin{eqnarray} T_1(x,1)=f(1)+f'(1)(x-1) \end{eqnarray}$ Den ersten Summanden hast du vergessen.
12.03.2013, 12:30	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kommt dann bei f'(1) = raus? Ich erkenne meinen Fehler nicht.
13.03.2013, 10:40	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f'(x)=e^{\frac{1} { x} }\frac{x² - x - 2}{ x²} \end{eqnarray}$ Nun darin x=1 setzen --> $\begin{eqnarray} f'(1) = -2e \end{eqnarray}$
13.03.2013, 10:52	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie mach ich denn die Restgliedabschätzung jetzt?
14.03.2013, 12:29	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Restglied ist $\begin{eqnarray} R_{n}(x)%20=%20\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \xi \in [1, 2] \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Punkt in dem betrachteten Intervall, d.h. du muss die maximal möglichen Werte der Ableitung inner halb des Intervalls berechnen (Fehlerabschätzung).
14.03.2013, 20:53	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich die dritte Ableitung in die restgliedformel einsetzen?
14.03.2013, 20:57	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Da du mit $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ deine Taylorentwicklung beendest, musst du die zweite Ableitung für das Restglied berücksichtigen. DIe 3. Ableitung wird nur benötigt, falls die Extrema der 2. Ableitung gesucht werden müssen.
14.03.2013, 21:08	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht wie ich das zum 2 mal ableiten soll? Hast du einen tipp für mich?
15.03.2013, 11:44	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x)=(2+x)e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{x^2-x-2}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{5x+2}{x^4}e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x)=\frac{-15x^2-13x-2}{x^6}e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Die Ableitungen wurden mit "GeoGebra^4" ermittelt. Deine erste Ableitung stimmt nicht. Darauf habe ich dich bereits hingewiesen. Dringend übe das Ableiten (Produkt- und Kettenregel).
16.03.2013, 00:34	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das müsste ja mein restglied sein. Wie gehe ich eiter vor?
16.03.2013, 12:18	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Erinnerung das Restglied ist $\begin{eqnarray} R_{n}(x)%20=%20\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ Da du bei $\begin{eqnarray} T_1(x) \end{eqnarray}$ aufhörst mit der Approximation, ist dein Restglied $\begin{eqnarray} R_1 \end{eqnarray}$ . Deshalb musst du die zweite Ableitung im ganzen Intervall $\begin{eqnarray} \xi\in[1, 2] \end{eqnarray*}$ diskutieren/abschätzen und nicht nur für x=1.
16.03.2013, 19:20	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
für x=2 würde mein Taylorpolynom so aussehen. Wäre das richtig?
17.03.2013, 19:21	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir vielleicht jemand anderer sagen ob das richtig oder falsch ist? Damit ich endlich fertig werde.
20.03.2013, 15:17	schwer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand helfen?

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