Frage zu einem Integral

10.03.2013, 11:33

Ploki

Frage zu einem Integral

Meine Frage:
Ich versuche gerade eine Lösung zur Berechnung eines Integrals zu verstehen. Das Beispiel zieht sich schon über 2 Seiten, der letzte Schritt ist mir aber nicht klar. Ich bitte um Hilfe.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}dx }{(\frac{2}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 +1} = \int \! \frac{d(\frac{2x}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3} }) }{(\frac{2}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 +1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Er will den Ausdruck praktisch so umbasteln, dass die Ableitung des arctan ensteht.

Ich verstehe aber nicht warum er das $\begin{align*} dx \end{align*}$ auseinanderzieht, und warum man das darf?

lg Ploki

10.03.2013, 11:40

Che Netzer

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RE: Frage zu einem Integral
Entweder überlegst du dir das durch Substitution oder du schreibst
$\begin{eqnarray*} \dd\left(\frac2{\sqrt3}x-\frac1{\sqrt3}\right)=\dd\left(\frac2{\sqrt3}x\right)-\dd\left(\frac1{\sqrt3}\right)=\frac2{\sqrt3}\dx-0\,. \end{eqnarray*}$
Das wäre dann die Linearität des Differentials

10.03.2013, 12:01

Ploki

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RE: Frage zu einem Integral
Danke für deine Antwort! Klingt verständlich.

Und damit hab ich im Zähler d(f(x)), wobei $\begin{align*} f(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}x - \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}$

Aber was ergibt d(f(x)). In welche Richtung wird hier abgeleitet. Ich kann diesen Ausdruck noch nicht wirklich interpretieren.

10.03.2013, 12:08

Che Netzer

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RE: Frage zu einem Integral
Vielleicht kannst du mit
$\begin{eqnarray*} \dd(f(x))=\frac{\dd f(x)}\dx\dx=f'(x)\dx \end{eqnarray*}$
leben.
Habt ihr denn aber nie die Integration durch Substitution besprochen?

10.03.2013, 13:10

Ploki

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RE: Frage zu einem Integral
Doch, doch haben wir schon besprochen. Ich wollte aber bewusst diesen Weg verstehen.
Also brauch ich eine Darstellung:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{f'(x)}{(f(x))^2 +1} \, dx = \arctan((f(x)) +c \end{eqnarray*}$

Aber f'(x) müsste doch $\begin{align*} {\frac{2}{\sqrt{3} } } \end{align*}$ sein, oder?

Irgendwie verwirrt mich das sehr..... xD

10.03.2013, 13:41

Che Netzer

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RE: Frage zu einem Integral

Zitat:

Original von Ploki
Aber f'(x) müsste doch $\begin{align*} {\frac{2}{\sqrt{3} } } \end{align*}$ sein, oder?

Das passt doch auch wunderbar...

10.03.2013, 16:41

Ploki

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RE: Frage zu einem Integral
$\begin{eqnarray*} \dd(f(x))=\frac{\dd f(x)}\dx\dx=f'(x)\dx \end{eqnarray*}$

Das hier verstehe ich aber noch nicht ganz.

Du hast im ersten Schritt erweitert mit dx/dx. Im zweiten Schritt ist nun was passiert? Kürzt du hier das d raus und gfreist dann auf den Differentialquotient zurück? Seh ich das richtig? =)

10.03.2013, 16:45

Che Netzer

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RE: Frage zu einem Integral
Eigentlich ist der erste Schritt mit dem Erweitern der unschöne.
Im zweiten benutze ich einfach die Schreibweise
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{\dd f(x)}\dx\,. \end{eqnarray*}$

10.03.2013, 17:05

Ploki

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Ok danke!! Nun ist alles klar!!

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