Extremwertproblem

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möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem
Meine Frage:
Also, die Aufgabe ist:

Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberflächen von 100cm² ein möglich großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden? Zeigen Sie, dass es keine weiteren Maxima gibt.

Meine Ideen:
Also, dann muss man ja als erstes die Hauptbedingung bilden:

V=abc


Da sind ja aber 3 Unbekannte, also muss ich noch 2 Nebenbedingungen bilden..

A=100=2(ab+ac+bc) /2
50=(ab+ac+bc)
aber wie bekomme ich jetzt, dass nur noch a auf einer seite steht?
Krieg ich nicht hin.

Danke im Voraus!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Du hast nicht beachtet, dass die Grundfläche quadratisch ist.

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
haha Sulo, du hilfst mir heute so viel weiter! ich bin übrigens die von eben grade Augenzwinkern

Dankeschöön! Also, würde mir so eine Aufgabe nicht gestellt werden, wenn die Grundfläche rechteckig wäre?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
In dem Fall bräuchtest du noch eine weitere NB. smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Hmmm, das verwirrt mich jetzt.

Ich dachte eine NB entsteht durch Umformen. Und das krieg ich ja hier nicht hin. Oder ist eine NB eine Eigenschaft wie z:B. hier eine Kantenlänge?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Nein, wie ich schon sagte: Die Grundfläche ist quadratisch. Nenne eine Seite a.

Dazu kommt als weitere Variable die Höhe, nenne sie h.

Du hast also 2 Variablen, es reichen die HB und eine NB. Die NB ist die Oberflächengleichung.

Stelle deine Gleichungen noch mal entsprechend geändert auf.

smile

(Du bist aber wirklich fleißig am Lernen. Freude )
 
 
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Wie man die Aufgabe löst, habe ich verstanden. Ich rechne das kurz und dann schreibe ich es hier hin.


Aber, das war jetzt zu dem wie es wäre, wenn die Grundfläche rechteckig wäre.
Also, das, was ich jetzt schreibe, bezieht sich darauf, wie es wäre wenn die Grundfläche rechteckig wäre und nicht wie wenn sie quadratisch wäre.

Du meintest grade, dass man dann man noch eine NB braucht. Und ich hab jetzt noch nicht ganz verstanden was eine NB ist bzw. wie man sie aufstellt.
Muss einem dafür dann noch andere Eigenschaften, wie z.B. eine Kantenlänge gegeben sein
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Ja, man bekommt noch eine Information. Freude

Möglich wäre z.B., dass die Grundseiten ein Verhältnis von 3:4 haben.

Oder man erfährt, dass die Höhe doppelt so hoch wie eine der Seiten ist.

Halt irgendeine Information, die man verwendet, um eine Gleichung aufzustellen, mit deren Hilfe man eine der Variablen in der HB ersetzt.

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
hä, man, irgendwie ist das falsch.

Also, meine Rechnung:

Für ein Quader ist ja die Formel A=2(ab+ac+bc)

dann wär das für ein Quader mit quadratischer Grundfläche ja
A=2(a²+2ac)
Also
100=2a²+4ac
50=a²+2ac
50-a²=2ac
(50-a²)/2a=c

Und dann muss ich das ja in V einsetzen oder?
V=a²*((50-a²)/2a)
V=25/a
V'=-25/a²
V"=50/a³


Und dann sieht man ja schon, dass V' eine Nullstelle bei 0 hat und das kann ja nicht sein, weil die Länge der Kante ja größer als 0 sein muss. Außerdem hätte dann V" im Nenner 0 stehen und das geht ja auch nicht unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Du hast nicht beachtet, dass der Karton oben offen sein soll.

Demnach gilt: A = a² + 4ac

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
ja, haha, ich bin fleißig am Lernen. Deswegen heiß ich ja auch "möchtegern", weil ich es gerne können möchte hahaha
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
boaaahman, warum vergess ich immer alles zu beachten böse
okay, ich mach das jetzt nochmal und schreib das dann wieder hier hin.
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Okay, ich hab mal wieder ein paar schräge Werte raus, deswegen wollte ich das erstmal überprüfen.

c=(25/a)-(a/4)

ich glaube, dass das stimmt, weil ich das auch ein 2.x nachgerechnet habe.

dann eingesetzt in V=a²*c

V=((25/a)-(a/4))*a²
=25a-(a³/4)
V'=25-(3a²/4)
V"=-3a/2

notw.Bed.: V'=0

0=25-(3a²/4)
-100=-3a²
100/3=a²
10/Wurzel aus 3=a


Stimmt das soweit oder wo liegt mein Fehler bzw. habe ich dieses Mal wieder was übersehen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Diesmal ist alles richtig. Freude

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
juhuu, dann kann ich ja gleich sorgenfrei schlafen gehen smile

Also, dann habe ich das in v" eingesetzt und da kam -0,0000000000irgendwas raus.
Also zeigt sich ja, dass es ein Maximum ist. Und es war +-10/wurzel aus 3, aber das negative kann ich ja weglassen, weil die Länge ja nicht negativ sein kann.

Dann hab ich das in A eingesetzt und für c 2,88 rausbekommen, stimmt das?

Und wie soll ich jetzt noch zeigen, dass es keine weiteren Maxima gibt? Ich meine, dadurch, dass ich keine anderen Extrema rausbekommen habe, hab ich doch schon gezeigt, dass es nur das gibt.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Nun, man könnte die Randwerte untersuchen.

Dazu musst du einen Definitionsbereich für die Variablen in deiner Funktion angeben.

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
hmm... okay
also muss ich die jetzt gegen + unendlich laufen lassen?
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Also muss ich V=((25/a)-(a/4))*a² gegen +unendlich laufen lassen?

-unendlich interessiert ja in diesem Fall nicht
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Nein, sozusagen gegen die Grenzen der Definitionsmenge.

Das heißt, du musst dir überlegen, welche Werte a und c überhaupt annehmen können und die Grenzen als Definitionsbereich festlegen.

Und diese Grenzen setzt du in die Funktionsgleichung ein und schaust, ob der Wert größer wird als dein gefundenes Maximum.

Ich werde dir dabei aber nicht mehr helfen können, weil ich mich jetzt für heute verabschiede.

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
hmmm unglücklich

a und c können doch alle positiven Zahlen aus den reellen Zahlen sein.

Also, c darf nur (25/a)-(a/4) groß sein und a darf auch nur etwas in Abhängigkeit von c groß sein. Aber generell dürfen sie ab 0 beliebig groß sein, oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Nein, die Grenze wird durch die Oberfläche gegeben: Sie ist 100 cm² groß.

Nimm diese Gleichung: 100=2a²+4ac
... und schau (jeweils getrennt für a und c), welche Werte a und c mindestens und höchstens annehmen können, damit die Gleichung noch stimmt.

Wie gesagt, ich muss jetzt aber leider off gehen.

Es kann gerne jemand übernehmen, oder wir machen morgen hier weiter.

Bis denn. Wink
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Oh sorry, das hab ich bei deinem Beitrag davor völlig überlesen. Okay, gute Nacht smile Wink

Also, das hab ich ja eben gemacht. Jedenfalls wollte ich das machen.

Und du meinst doch bestimmt 100=a^2+4ac, weil der Karton ja keinen Deckel hat.

Jedenfalls hab ich dann nach c umgeformt und dann kam c= (25/a)-(a/4) raus. Also alle Zahlen ab 0. Weil a ja einmal im Nenner steht, kann also a nicht 0 sein...
Und nach a umformen krieg ich nicht hin. Aber ist denn umformen der richtige Weg dafür?
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Alsoo, ich mach das jetzt einfach mit einsetzen
a zwischen 0 und ca. 6,935 .... obwohl es kann auch 10 sein, wenn c 0 ist, aber c darf nicht 0 sein sonst wär es ja kein karton mehr...

und das hab ich jetzt ausgerechnet. Also wenn a 1 ist, darf c ja 99/4 sein.
c zwischen 0 und 99/4
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Zitat:
Original von möchtegern55
Und du meinst doch bestimmt 100=a^2+4ac, weil der Karton ja keinen Deckel hat.

Ja, klar Freude , da war mein Hirn wohl schon am Einschlafen... Augenzwinkern

Deine weiteren Überlegungen kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Ich meine es so:
Betrachte erst mal das c: 100=a^2+4ac
Denke dir dabei , dass a von unendlich klein bis unendlich groß sein kann.
Für c gilt dann: Es muss > 0 sein und < 25.

Betrachten wir das a: 100=a^2+4ac
Denke dir dabei , dass c von unendlich klein bis unendlich groß sein kann.
Für a gilt dann, da wir a² + 4a haben, dass es > 0 und < 8,198039 sein muss.

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
okay, das hab ich jetzt verstanden wie man es macht.

Aber was muss ich jetzt mit diesen Werten machen? Die irgendwie in V einsetzen?
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Und auf meine Werte bin ich übrigens gekommen, weil ich dachte, dass wenn ich z.B. c berechne a immer 1 sein muss, aber das ist ja voll unsinnig.

Aber ich hab das doch nicht verstanden. Weil wenn a z.B. 0,5 ist, dann kann c ja immer noch 49,8 sein. Und das läge ja dann oberhalb der Grenzen...
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Falls mir gleich noch niemand zu dieser Frage was gesagt hat, willst du dir die vielleicht angucken? Ist auch mit Extremwertproblemen www matheboard.de/thread.php?threadid=516845

Ich muss jetzt in die Schule, mein Unterricht beginnt heute erst jetzt smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Stimmt, natürlich ergibt der Faktor 4, wenn man ihn mit einem unendlich keinen a (oder c) multipliziert, auch ein unendlich kleines Produkt.
Er braucht also nicht berücksichtigt zu werden.

Die gefundenen Grenzwerte für a setzt du in die HB, also V(a), ein.

smile
möchtegern55 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
hmm... und dann kriegt man das Volumen raus und muss gucken ob das größer ist, als bei dem extremum von V...?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertproblem, bei einem Schritt Umformschwierigkeiten
Ja, so ist es. Freude
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

solche Extrema-Aufgaben haben immer ein relatives Maximum das auch das absolute Maximum ist.

Grund wie so oft: an den Definitionsgrenzen muss das Volumen Null sein.
Entweder hat der Karton keine Höhe, oder er hat keine Grundfläche.

Ist doch einleuchtend, trotzdem schauen wir mal nach, was das Volumen für die Grundseite als Variable so macht:



und wie vermutet ist V(0)=V(10)=0

was du aber durch Einsetzen bestätigen kannst.
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