quadratisch ergänzen

11.03.2013, 11:19	123Vicky	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratisch ergänzen Meine Frage: Ich habe bereits ein fertiges Beispiel, kann aber die einzelnen Rechenschritte nicht nachvollziehen!!! Ich hoffe es kann mir jemand das quadratische ergänzen anhand folgenden Beispiels Schritt für Schritt erklären: Meine Ideen: 6x^2+49y^2+4z^2+36xy+24xz+52yz+48x+164y+136z+46=0 = 6*(x+3y+2z+4)^2 -5y^2-20z^2-20yz+20y+40z-50 = .... es geht dann noch weiter es wird noch ein weiteres Mal quadratisch ergänzt ich möchte aber diesen Schritt ein mal verstehen Bitte um Hilfe !!!! LG
11.03.2013, 12:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In Matrixform lautet deine Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}^T\ \begin{pmatrix} 6 & 18 & 12 \\ 18 & 49 & 26 \\ 12 & 26 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 24 \\ 82 \\ 68 \end{pmatrix}^T\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+46 \end{eqnarray}$ Durch eine Verschiebung des Koordinatensystems gemäß $\begin{eqnarray} (x\|y\|z) \rightarrow (x\|y\|z)-(a_1\|a_2\|a_3) \end{eqnarray}$ kann man stets erreichen, dass der 2.Summanden verschwindet. (Das ist eine Verallgemeinerung der bekannten quadratischen Ergänzung bei quadratischen Funktionen einer Variablen.) Der gesuchte Verschiebe-Vektor $\begin{eqnarray} (a_1\|a_2\|a_3) \end{eqnarray}$ ist Lösung eines linearen Gleichungssystems. In deinen Mitschriften findest du, wie das geht. Oder sieh nach in dem Buch Bronstein, Semendjajew: "Taschenbuch der Mathematik" Kapitel 2.6.6.2. im Unterkapitel "Flächen 2.Ordnung"

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