Extremstellen

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11.03.2013, 13:35	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen Meine Frage: Hallo ich komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter: Gegeben sei die funktion f: $\begin{eqnarray} [-\sqrt{\pi } ,\sqrt{\pi } ]\Rightarrow R \end{eqnarray}$ mit: f(x) = cos(x^2) +x^2 -2 a) Geben sie alle globalen und lokalen Extrema von f im Intervall [-\sqrt{\pi } ,\sqrt{\pi } ]. Bestimmen sie jeweils die Art der Extrema. b) Zeigen sie das die funktion im intervall $\begin{eqnarray} [\sqrt{\pi/2 } ,\sqrt{\pi } ] \end{eqnarray}$ genau eine nullstelle besitzt. Meine Ideen: Ansatz: f`(x) = 2x -sin(x^2) +2x 2x -sin(x^2) +2x = 0 Eine nullstelle wäre bei x = 0 WIe gehe ich weiter vor?
11.03.2013, 13:52	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstellen Hallo, Eine Extremstelle hast du ja bereits gefunden. Es gibt noch 2 weitere in dem Intervall. Berechne dann die Funktionswerte der gefundenen Extremstellen sowie die Funtionswerte an den Rändern des Intervalls und entscheide, ob deine Extremstelle global oder lokal sind. Gruß
11.03.2013, 14:17	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab das nicht so richtig verstanden , was muss ich denn genau als nächstes machen , woher finde ich die zwei anderen Nullstellen?
11.03.2013, 14:24	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Das problem ist wenn ich in die erste Ableitung wurzel aus pi einsetze: f`(wurzelpi) = $\begin{eqnarray} 2\sqrt{\pi } \end{eqnarray*}$ Das bringt mir doch nichts oder?
11.03.2013, 14:26	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst keine Nullstellen sondern Extremstellen der Funktion ausrechnen. Dazu berechnest du ersteinmal alle Nullstellen der Ableitung, also $\begin{eqnarray} f'(x)=-2x\cdot sin(x^2)+2x=2x\cdot (1-sin(x^2))=0 \end{eqnarray}$ Satz des Nullprodukts: $\begin{eqnarray} 2x=0 \Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1-sin(x^2)=0 \Rightarrow x_2=..., x_3=... \end{eqnarray}$ Somit hast du also 3 "Kandidaten" für die Extrema, nämlich $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ . Jetzt berechnest du die jeweils zugehörigen Funktionswerte, also $\begin{eqnarray} f(x_1)=..., f(x_2)=..., f(x_3)=... \end{eqnarray}$ . Um zu überprüfen, ob die Extremstellen global oder nur lokal sind, musst du noch die Ränder des Intervalls überprüfen, also $\begin{eqnarray} f(\pm \sqrt \pi) \end{eqnarray}$ . Gruß
11.03.2013, 14:38	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre diese Extremstellen richtig?
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11.03.2013, 15:26	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} x_2=\sqrt{\frac \pi 2} \end{eqnarray}$ ist richtig. $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ ist falsch, da es nicht mehr im Intervall liegt. Es gilt $\begin{eqnarray} x_3= -\sqrt{\frac \pi 2} \end{eqnarray}$ Gruß
11.03.2013, 16:25	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich diese Punkte in die zweite Ableitung einsetzen?
11.03.2013, 17:13	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstellen Genau, damit bekommst du die Art der Extrema. Dann musst du allerding noch Aussagen über global/lokal treffen. Rechne dazu alle Funktionswerte aus und vergleiche, an welcher Stelle $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ am größten/kleinsten ist, d.h. $\begin{eqnarray} f(x_1), f(x_2), f(x_3) \end{eqnarray}$ sowie die Ränder, also $\begin{eqnarray} f(-\sqrt \pi), f(\sqrt \pi) \end{eqnarray}$ . Folgere dann ob deine gefundenen Extrema global oder lokal sind. Gruß
11.03.2013, 19:44	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit in ordnung?
11.03.2013, 21:16	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist meine 2 Ableitung richtig?
12.03.2013, 13:43	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das jetzt soweit ?
12.03.2013, 20:55	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, $\begin{eqnarray} f(0)=-1 \end{eqnarray}$ , ja das stimmt. Was ist denn mit dem $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ in den anderen Rechnungen passiert? Rechne doch bitte noch einmal $\begin{eqnarray} f(\pm \sqrt{\pi /2}) \end{eqnarray}$ aus. Auch dein $\begin{eqnarray} f'' \end{eqnarray}$ stimmt nicht. Kettenregel am Anfang beachten...
12.03.2013, 21:02	Chris152	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt es so?
12.03.2013, 21:20	h4mmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. (Ist das auch Spam?)

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