Skalarfunktion f(x,y) Aufgabenstellung ?

11.03.2013, 15:48

Ingi

Skalarfunktion f(x,y) Aufgabenstellung ?

Ich stehe gerade vor folgender Aufgabe:

[attach]29001[/attach]

und ich verstehe die Aufgabenstellung nicht wirklich. Ich weiß, dass, das Kreuzprodukt von 2 identischen Vektoren verschwindet.

Nur was ist mit $\begin{eqnarray*} \frac d {d\vec r} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac {df} {d\vec r} \end{eqnarray*}$ gemeint ? Etwa beides nur Vektoren mit den partiellen Ableitungen etwa so $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{df}{dx} \\ \frac{df}{dx} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Was mich auch irritiert ist das da steht aus dem $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ wobei die Funktion ja von 2 Variablen abhängt.

11.03.2013, 18:31

Dopap

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Vermutung: $\begin{eqnarray*} \vec r= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und da Der Nullvektor rauskommt , ist wohl das Kreuzprodukt gemeint.

Ich lese das so : das symbolische Kreuzprodukt des Gradientenoperators mit dem Gradienten der Funktion ist der Nullvektor.
Das Ganze hat bestimmt einen eigenen Namen (?)
-- Ist aber nur meine Meinung--

11.03.2013, 18:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von Dopap
Das Ganze hat bestimmt einen eigenen Namen (?)

Wenn du diese Gesetzmäßigkeit meinst, ist mir kein Name bekannt, diese Ableitung hier kann man aber als Rotation des Gradienten ansehen; die ist dann Null.

11.03.2013, 19:06

Dopap

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genau, das fehlte mir! Freude

11.03.2013, 19:22

Ingi

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Ich verstehe noch nicht ganz was ihr geschrieben habt.

Ist mit $\begin{eqnarray*} \frac d {d\vec r} \end{eqnarray*}$ der Nabla-Operator gemeint ? und mit $\begin{eqnarray*} \frac d {d\vec r} f \end{eqnarray*}$ der Gradient ?

11.03.2013, 20:06

Ingi

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Mir fällt da gerade mal auf wie man es beweisen könnte geschockt

Einfach mal das Kreuzprodukt ausführen so wie es da steht.
Also:
$\begin{eqnarray*} \frac d {d\vec r} \times \frac d {d\vec r} f=\begin{pmatrix} \frac {df} {dx} \\ \frac {df} {dx} \\ \frac {df} {dz} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac {d} {dx} \\ \frac {d} {dx} \\ \frac {d} {dz} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac {d^2f} {dy dz}-\frac {d^2f} {dy dz} \\ \frac {d^2f} {dz dx}-\frac {d^2f} {dz dx} \\ \frac {d^2f} {dx dy}-\frac {d^2f} {dy dx} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also gilt diese Aussage nicht nur für diese Funktion sonder für alle Funktionen bei denen der Satz von Schwarz gilt oder ?

11.03.2013, 20:58

Che Netzer

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Im ersten Schritt hast du die Vektoren vertauscht, eigentlich ändert sich dabei das Vorzeichen. Ist hier zwar egal, sieht aber nicht schön aus.
Wenn man vom vertippten Differential in der zweiten Komponente absieht, stimmt das aber sonst.

Ja, die Rotation eines Gradientenfeldes ist immer Null (wenn das Gradientenfeld stetig differenzierbar ist natürlich).

Die Aufgabe ist tatsächlich etwas seltsam; ich vermute, man soll $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Funktion auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ (meinetwegen $\begin{eqnarray*} \mathfrak R^3 \end{eqnarray*}$ ) betrachten, wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann unabhängig vom dritten Argument ist.

Dann könnte man auch anschaulich argumentieren, dass in diesem Fall der Gradient stets parallel zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse ist und damit offenbar keine Rotation auftritt.
Das aber eher als Veranschaulichung, nicht als Beweis...

11.03.2013, 22:05

Dopap

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sehr schön che Netzer,

und das erinnert mich auch wieder an die Tage, wo ich dem Assistenten samt Prof. am liebsten an den Kragen gegangen wäre.

Nichts konnte mich in Mathe so sehr ärgern wie diese Scheissaufgaben.

Ist das ein Lernziel(?) , solche undefinierten Aufgaben zu stellen und am Ende mit dem Hinweis a la "der Wissende" kennt sich aus, abzuspeisen?
sorry

11.03.2013, 22:16

Che Netzer

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Ich schätze, die Aufgabe kommt aus einer Veranstaltung wie "Mathematik für Physiker" oder ähnlichem.
Vielleicht soll es bei denen ja üblich sein, grundsätzlich den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ zu betrachten [attach]24103[/attach]

Aber ja, ich kann diese Aufgaben auch nicht leiden, in denen völlig selbstverständlich nicht vorher eingeführte Kurzschreibweisen verwendet werden.

11.03.2013, 22:57

Ingi

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Die Veranstaltung ist Mathematik für Ingenieure im 2. Semester und der Prof. mag es wirklich solche Aufgaben zu stellen. Wo man ewig lange an der Aufgabenstellung herumrätselt und der letztendliche Beweis oder Rechnungsschritt ist dann eher trivial.

11.03.2013, 23:10

Che Netzer

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Hm...
Sprecht den Dozenten doch mal darauf an. Bzw. den Übungsleiter, falls der die Aufgaben erstellt.
Vielleicht ist er sich gar nicht bewusst, dass die Aufgabenstellungen oft unverständlich sind.

11.03.2013, 23:35

Ingi

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Die Aufgabe war eine alte Klausuraufgabe, die ich zur Klausurvorbereitung nutze und der Prof. macht die Klausuren selbst, soweit ich weiß.
Aber das wäre vlt wirklich eine Idee ihn mal drauf anzusprechen.

11.03.2013, 23:46

Che Netzer

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In Klausuren sollten die Aufgaben aber erst recht verständlich sein geschockt

Dann frag am besten ein paar andere, ob sie mit den Aufgabenstellungen auch nicht zurechtkommen, d.h. ob du nicht doch einfach irgendwelche Erklärungen verpasst hast.
Und dann geht zum Professor/Assistenten, vor allem, wenn das derselbe ist, dessen Klausuraufgabe das hier war.

12.03.2013, 00:03

Ingi

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Ja das werde ich auf jeden Fall machen. Vielen Dank noch mal für die Anteilnahme Freude

Echt klasse das Board !

edit: das mit $\begin{eqnarray*} \vec r = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ war mir dann doch irgendwie klar. Also hatten wir das wohl irgendwann mal in der Vorlesung oder so.

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