Parametrisierung eines Zylinders

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11.03.2013, 15:54	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung eines Zylinders hallo, ne frage zu ner aufgabe aus meinem mathebuch ( finkenstein band 1 ü 37.6) gegeben sei der körper Z mit $\begin{eqnarray} Z = \left\{ \left(x,y,z\right)\in \mathbb R^3 : x^2+y^2 \leq 9 , 0\leq z\leq 5\right\} \end{eqnarray}$ sei S die oberfläche von Z und N die äußere normale von S. ferner sei das vektorfeld $\begin{eqnarray} V : \mathbb R^3\Rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit D(V) = R^3 $\begin{eqnarray} V\left(x,y,z\right) = \left(x+y,y+z,x+z\right) \end{eqnarray}$ gegeben skizzieren sie den körper Z nen zylinder mit radius 3 und höhe 5... berechnen sie das oberflächenintegral $\begin{eqnarray} \int_S \! \left(V\cdot N\right) \, d\sigma \end{eqnarray}$ a) direkt b) mit hilfe des gaußschen integralsatzes hinweis zu a) : zerlegen sie die oberfläche S in Teilflächen und parametrisieren sie diese durch geeignete koordinaten b) hab ich lösen können x = rcos(a) y = rsin(a) z=z zylinderkoordinaten... r=0...3 a=0...2pi z=0...5 $\begin{eqnarray} \int_S \! \left(V\cdot N\right) \, d\sigma = \int_0^3 \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^5 \! div\vec{V} \cdot\, r\cdot dz \, d\phi \, dr = \int_0^3 \! \int_0^{2\pi} \! \int_0^5 \! r \cdot dz \, d\phi \, dr = 135\pi \end{eqnarray}$ a) also mit dem parametrisieren hab ichs leider nicht so die zwei teilflächen der oberfläche wären ja wohl der mantel und die zwei kreise oben und unten für den kreis hab ich bei wikipedia die parameterdarstellung $\begin{eqnarray} x= r\frac{1-t^2}{1+t^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= r\frac{2t}{1+t^2} \end{eqnarray}$ t integriere ich dann doch von 0...3 oder? aber selbst das integral bin ich mir gerade nicht so sicher wie ich es aufzustellen habe...
11.03.2013, 20:52	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, zu a) Ergebnis korrekt, nur dass du im letzten Schritt vor dem Ergebnis die 3 von $\begin{eqnarray} \operatorname{div} \vec V = 3 \end{eqnarray}$ vergessen hast, das Ergebnis passt jedoch wieder. zu b) Die Parametrisierung wuerde ich einfach in Zylinderkoordinaten lassen. Jedoch solltest du dann die Flaeche aufteilen in Deckel, Boden und Mantel. Im Deckel gilt z=5. Im Boden gilt z= ? Was gilt denn dann im Mantel? Was sind die jeweiligen Einheitsvektoren?
12.03.2013, 13:28	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt mit der divergenz haste recht, da hab ich vergessen die 3 reinzuschreiben... mit den teilflächen das meinte ich ja schon... deckel und boden sind die zwei kreise oben und unten... aber wie ich die mit einer gescheiten parametrisierung berechne weiß ich nicht so ganz... also normalerweise berechnet sich der kreis ja mit $\begin{eqnarray} A = \pi r^2 \end{eqnarray}$ aber ich weiß jetzt nicht so recht wie ich mit der parametrisierung das hinkriege... reicht es z.b. die parametrisierung aus wikipedia von oben zum beispiel nur von $\begin{eqnarray} x = r\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{eqnarray}$ mal pi von 0 bis 1 zu integrieren und das noch mal das integral der y-parametrisierung, wegen r^2 ? $\begin{eqnarray} 2 \pi \int_0^1 \! 3 \frac{1-t^2}{1+t^2} \, dt \end{eqnarray}$ und dann zum mantel.. $\begin{eqnarray} M = 2\pi r h \end{eqnarray}$ jetzt wieder nur das integral über den x oder y wert und das ganze mal 2pi5 ?
12.03.2013, 13:48	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wuerde es einfach so parametrisiert lassen. Den Mantel wuerde man dann so berechnen. Zunaechst mal ist der radiale Einheitsvektor beim Mantel: $\begin{eqnarray} \vec n = \begin{pmatrix}{\cos \phi} \\ {\sin\phi} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Vektorfeld V nimmt in der gewohnten parametrisierung folgende Gestalt an: $\begin{eqnarray} \vec V = \begin{pmatrix} r\cos\phi + r \sin\phi \\ r\sin\phi + z \\ r\cos\phi + z\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\text{Mantel}} \vec{V}\vec{n} = \int_0^{2\pi} r d\phi \int_0^5 dz\, \cdot \vec{V}\vec n = \int_0^{2\pi} 3 \cdot d\phi \int_0^5 dz\, \begin{pmatrix} 3\cos\phi + 3 \sin\phi \\ 3\sin\phi + z \\ 3\cos\phi + z\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{\cos \phi} \\ {\sin\phi} \\ 0 \end{pmatrix} = \dots \end{eqnarray}$ Im letzen Schritt habe ich ausgenutzt, dass r=3 auf der ganzen Mantelflaeche gilt. Ich kann mit deiner Parametrisierung irgendwie wenig anfangen. Ich weiss zumindest, dass mit meinem Rechenweg das richtige herauskommt. Fuer den Mantel bekomme ich $\begin{eqnarray} 90\pi \end{eqnarray}$ , fuer den Deckel $\begin{eqnarray} 45\pi \end{eqnarray}$ und fuer den Boden bekomme ich keinen Fluss heraus.
12.03.2013, 13:57	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
ja viel anfangen kann ich damit auch nicht xD ich weiß noch, dass diese parametrisierungskram was mit t war wo man alles so umgestellt hat und die integralgrenzen angepasst, dass man nurnoch eine variable hatte aber z.b. 4 integrale für den umfang eines quadrats wo jede strecke dann einzeln berechnet wurde...
12.03.2013, 14:19	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das hab ich ja jetzt auch gemacht. Da wir jetzt aber ueber eine Flaeche integrieren, haben wir natuerlich 2 Integrationen.
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12.03.2013, 15:19	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
joah stimmt... habs jetzt nochmal im mathebuch nachgelesen wie die es da machen... also es ist so erlaubt danke für die hilfe mim normalenvektor da wär ich glaube jetzt auch nich so schnell drauf gekommen auch wenns ja wirklich relativ simpel is den dann zu bestimmen
12.03.2013, 15:38	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst halt auch noch bedenken, dass z.B. der Normalenvektor am Boden $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist. Wie machen die denn das im Mathebuch? Auch so wie ich?
12.03.2013, 17:02	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt keine lösung zu der aufgabe direkt jetzt aber sie sagen, dass die länge des weges $\begin{eqnarray} \vec{X}(t) = \left(r\cos(t),r\sin(t)\right) , t\in \left[0,2\pi\right] \end{eqnarray}$ gleich: $\begin{eqnarray} L\left(W\right)=\int_0^{2\pi} \! \|\vec{X`}\| \, dt =\int_0^{2\pi} \! \sqrt{\left(-r\sin(t) \right)^2 + (r\cos(t))^2 } \, dt=\int_0^{2\pi} \! r \, dt = 2\pi r \end{eqnarray}$
12.03.2013, 17:04	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ja jetzt auch eigentlich egal. Du hast ja jetzt die Loesung, oder? Also so wie ich es gemacht hab, oder?
12.03.2013, 17:52	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
jap so sollte es richtig sein... ist ja an sich die direkte berechnung des integrals VNd\sigma danke

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