Schnittfiguren

11.03.2013, 16:18

schneeflöckchen

Schnittfiguren

Meine Frage:
Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten A(0/0/0), B(8/0/0), C(8/8/0),
D(0/8/0), S(4/4/8) sowie für jedes r E R eine Ebene Er : r × x1 + 3x3 = 8r .

a) Zeigen Sie, dass für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\sqrt{r^{2}+9 } } \end{eqnarray*}$ gilt. Bestimmen Sie einen Wert für r, für den $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 40°

b) Beim Schnitt einer Ebene Er mit der Pyramide ensteht eine Schnittfigur. Welche Schnittfiguren sind Möglich?
Geben Sie jeweils die zugehörigen Werte von r an.

Lösung:
Die Ebenenschar enthält, egal wie r gewählt wird, immer die Punkte B und C.
Die Ebenenschar dreht sich somit um diese "Achse? [BC].
Enthält die Ebenenschar den Punkt A(0/0/0) (dies ist für r = 0 der Fall) stimmt die Ebene
mit der Grundfläche der Pyramide überein, also Schnitt in einem Quadrat.
Enthält die Ebenenschar den Punkt S(4/4/8), liegt die Dreiecksoberfläche BCS auf der
Ebene, also Schnitt in einem Dreieck.
S(4/4/8) liegt für folgendes r auf der Ebene: r × 4 + 3 × 8 = 8 × r ?r = 6
Für alle 0 < r < 6 liegt die Ebene innerhalb der Pyramide und die Schnittfigur ist ein
gleichschenkliges Trapez.
Für r < 0 oder r > 6 hat die Ebene mit der Pyramide nur die Grundkante [BC] gemeinsam

Meine Ideen:
a) Ich habe keine Ahnung, was man da machen soll unglücklich

b) -Mir ist nicht ganz klar, wíeso sich die Ebenenschar um die Achse BC dreht? Die Ebenen sind doch parallel zur x2 Achse?
- Den Punkt A (0/0/0) verstehe ich
- Warum liegt die Dreicecksfläche auf der Ebene? Woran kann man das sehen?
- Das mit dem Trapez versteh ich auch nicht unglücklich

11.03.2013, 16:49

riwe

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RE: Schnittfiguren
es soll vermutlich

$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{r^2+9}} \end{eqnarray*}$

heißen,
dann sollst du den schnittwinkel der grundebene mit E bestimmen Augenzwinkern

11.03.2013, 16:54

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
oh das stimmt! hab versehentlich einen Teil der Aufgabenstellung weggelassen Finger1

Die Aufgabe lautet richtig:
a) Zeigen Sie, dass für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zwischen der Ebene Er und der Grundfläche ABCD der Pyramide $\begin{eqnarray*} cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{r^{2}+9 } } \end{eqnarray*}$ gilt. Bestimmen Sie einen Wert für r, für den $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =40° ist.

11.03.2013, 17:14

riwe

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RE: Schnittfiguren
da die grundfläche die gleichung $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ sollte das doch kein problem sein.
dann mußt du doch nur für 40° einsetzen, quadrieren und schon hast du r.

da offensichtlich B und C IMMER in E liegen, dreht sich die schar um diese trägergerade.
für r = 6 liegt das dreieck BCS in $\begin{eqnarray*} E_6 \end{eqnarray*}$ , also ist die gemeinsame "schnitt"fläche ein 3eck.
das siehst du, wenn du die ebene durch diese 3 punkte aufstellst und einen koeffizientenvergleich hachst.
für r = 0 liegt die grundfläche in E, also hat man ein quadrat
und dazwischen offensichtlich ein trapez, da aus dem BCS gegenüberliegenden dreieck eine zu BC kürzere parallele strecke ausgeschnitten wird

11.03.2013, 18:21

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
Was muss ich jetzt genau mit x3=0 machen? Den schnittwinkel berechnen?

11.03.2013, 18:27

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
Ah okay habs jetzt! Big Laugh

11.03.2013, 18:37

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
$\begin{eqnarray*} cos (40)= \frac{3}{\sqrt{r^{2}+9 } } \end{eqnarray*}$

wenn ich dass jetzt so habe, kann ich doch nicht einfach quadrieren?
Wss muss ich machen, um auf r zu kommen?

11.03.2013, 18:52

riwe

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RE: Schnittfiguren
wieso denn nicht verwirrt

(irgendwann mußt du halt den zahlenwert für $\begin{eqnarray*} cos\alpha \end{eqnarray*}$ einsetzen)

11.03.2013, 20:07

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
Ja aber was ist mit dem zähler? Ich blick grad irgendwie nicht was ich machen soll Erstaunt2

könntest du mir vielleicht den nächsten schritt zeigen?

11.03.2013, 20:27

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
Und noch eine frage zu b)
Nehmen wir mal an wir würden die Lösung nicht kennen, wie kann man dann herausfinden, wie die ebenenschar liegt? Woran erkennt man, dass sich die ebenen um die strecke BC drehdn?

12.03.2013, 14:09

riwe

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RE: Schnittfiguren

Zitat:

Original von schneeflöckchen
Und noch eine frage zu b)
Nehmen wir mal an wir würden die Lösung nicht kennen, wie kann man dann herausfinden, wie die ebenenschar liegt? Woran erkennt man, dass sich die ebenen um die strecke BC drehdn?

klar kann man, indem man die schnitte mit der pyramide berechnet.
da sieht man auch, dass B und C in JEDER ebene liegen, also punkte auf der schnittgeraden der ebenenschar(-bündel, - büschel) sind.
daher "dreht" sich die schar eben um diese gerade.

zu weiter oben

quadrieren

$\begin{eqnarray*} (r^2+9)\cdot cos^2\alpha=9\to r=\pm 3\cdot tan\alpha \end{eqnarray*}$

12.03.2013, 19:32

schneeflöckchen

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RE: Schnittfiguren
Okay, alles klar! Vielen Dank Wink

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