orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?

11.03.2013, 18:36

Blauerregen

orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?

Meine Frage:
In meinem Skript steht das orthogonale Komplement
$\begin{eqnarray*} U^\perp := {x \in \mathbb R^{n} : x\cdot a = 0 \forall a\in A} \end{eqnarray*}$
Also ist ein orthogonales Komplement nur definiert dadurch, das sämtliche Vektoren senkrecht auf denen des eigentlichen Vektorraums stehen?

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} Sei U:= span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}, <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\3 \end{pmatrix} ,<br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 4\\ 3 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
Bestimmen sie 2 vektoren, sodass :
$\begin{eqnarray*} span(v_{1} , v_{2} )=: U^\perp \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zuerst nachweisen das der 3. vektor linear abhängig ist, den kann man dann streichen.
vektoren die senkrecht auf auf den ersten beiden vektoren stehen, kriegt man durch das dachprodukt.
Eine Linearkombination des Dachprodukts sollte dann alle vektoren enthalten
Allerdings ist das ja jetzt nur 1 Vektor, frage ist, wie komm ich auf einen 2.?

11.03.2013, 18:47

weisbrot

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?

Zitat:

wie komm ich auf einen 2.?

hat keiner gesagt, dass der nicht abhängig vom zuerst gefundenen sein darf, oder?
lg

11.03.2013, 18:54

Che Netzer

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?
Da sind aber noch erhebliche Probleme beim Formulieren mathematischer Texte festzustellen:

Zitat:

Also ist ein orthogonales Komplement nur definiert dadurch, das sämtliche Vektoren senkrecht auf denen des eigentlichen Vektorraums stehen?

Besser: Das orthogonale Komplement eines Unterraums ist die Menge aller Vektoren, die zu allen Vektoren dieses Unterraums (dem man noch besser einen Namen gegeben hätte) orthogonal sind.

Zitat:

Original von Blauerregen
Bestimmen sie 2 vektoren, sodass :
$\begin{eqnarray*} span(v_{1} , v_{2} )=: U^\perp \end{eqnarray*}$

Hier sollte eher $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(v_1,v_2)=U^\perp \end{eqnarray*}$ stehen.
Außerdem wurden $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

Zitat:

Zuerst nachweisen das der 3. vektor linear abhängig ist, den kann man dann streichen.

Der Satz ergibt keinerlei Sinn.

Zitat:

Eine Linearkombination des Dachprodukts sollte dann alle vektoren enthalten

Was stellst du dir denn unter einer Linearkombination des Dachprodukts vor? Und wie soll eine Linearkombination Vektoren "enthalten"?

11.03.2013, 20:06

Blauerregen

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?
super geholfen hast du mir mit deinem Beitrag null, wenn man auch nur ein bisschen Ahnung von Mathe hat, ist klar was ich da meine, außerdem hab ich besseres zu tun als mir da stundenlang über die
Formulierung Gedanken zu machen.
linearkombination des dachprodukts wäre
$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} )\cdot \lambda \end{eqnarray*}$ .
Mit der Kombination kann man sämtliche auf v1 und v2 senkrechte vektoren darstellen.

Eine Antwort habe ich inzwischen in der Lösung gefunden, eine Erklärung allerdings nicht, der 2. Vektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

11.03.2013, 20:42

weisbrot

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?
hast du meine antwort überhaupt gelesen? traurig

11.03.2013, 20:49

Blauerregen

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?
ja klar, allerdings sagt man doch immer, dass man nur vektoren aufzählen muss, die linear unabhängig zueiner sind, sonst ist es doch überflüssig sie extra zu erwähnen Erstaunt2

?
allerdings ist der nullvektor von allen anderen vektoren linear abhängig oder...? verwirrt

11.03.2013, 20:55

weisbrot

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?

Zitat:

ja klar, allerdings sagt man doch immer, dass man nur vektoren aufzählen muss, die linear unabhängig zueiner sind, sonst ist es doch überflüssig sie extra zu erwähnen?

ja, natürlich, span(x,y) = span(x), wenn x und y abh. sind. aber nichts desto trotz ist die aufgabe damit gelöst, so quatschsinnig sie sich auch anhören mag. du kannst dir auch überlegen, dass U 1-dimensional ist - 2 solche vektoren müssen also sowieso abhängig sein.
lg

11.03.2013, 20:58

Blauerregen

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?
okay, also war die aufgabe ultraeinfach ich habs nur nicht geschnallt, auch immer schön Big Laugh

vielen dank Freude

11.03.2013, 21:01

Che Netzer

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RE: orthogonales Komplement durch 2 Vektoren?

Zitat:

Original von Blauerregen
super geholfen hast du mir mit deinem Beitrag null, wenn man auch nur ein bisschen Ahnung von Mathe hat, ist klar was ich da meine, außerdem hab ich besseres zu tun als mir da stundenlang über die
Formulierung Gedanken zu machen.

Die richtige Formulierung spielt aber in der Mathematik nunmal eine zentrale Rolle.
Und auch wenn du nur etwas wie Mathematik für Ingenieure hörst, sollte es Sinn der Vorlesung sein, richtiges Formulieren zu lernen.

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