Folgen Konvergenz

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11.03.2013, 21:28	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen Konvergenz Meine Frage: Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter: Welche der nachstehenden Folgen (an)n Element N konvergieren? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. an = $\begin{eqnarray} \frac{n}{\sqrt{n+2 }+ \sqrt{n} } \end{eqnarray}$ Für tipps wäre ich dankbar. Meine Ideen: keine
11.03.2013, 21:50	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde versuchen, die Folge nach unten gegen etwas divergierendes abzuschätzen.
11.03.2013, 21:52	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich als minorante n/n+2n
11.03.2013, 21:58	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
(n/n)+2n divergiert, und zwar deutlich schneller als die Folge aus der Aufgabe. Also kann man damit leider nichts zeigen. n/(n+2n) konvergiert, ist also ungeeignet um divergenz zu zeigen. (Diese Folge ist sogar konstant) falls das fehlende Wort "verwenden" war, dann ist die Antwort nein.
11.03.2013, 22:06	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
divergieren tut ja die harmonische reihe 1/n . Soll ich die nehmen?
11.03.2013, 22:16	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst die Folge der Partialsummen über der harmonischen Reihe? Ich würde es nicht so kompliziert machen. In etwa sieht deine Folge doch aus wie $\begin{eqnarray} a_n= \frac n {\sqrt n} \end{eqnarray}$
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11.03.2013, 22:23	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich denn genau auf die Minorante kommen?
11.03.2013, 22:25	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Folge sieht doch fast so aus, wie $\begin{eqnarray} a_n= \frac n {\sqrt n} \end{eqnarray}$ . Also versuch es doch mal mit einem konstanten Faktor.
11.03.2013, 22:33	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich 1/2^n nehmen ? Was meinst du den mit konstanten faktor?
11.03.2013, 22:37	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
1/2^n konvergiert, und zwar ziemlich schnell. Ich meine als Minorante eine Folge der Form: $\begin{eqnarray} a_n=c \frac n {\sqrt n} \end{eqnarray}$ mit c konstant.
11.03.2013, 22:49	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ichfür c einfach z.B 2 nehmen? Woher weiss ich welche Zahl ich nehmen soll? Das fällt mir immer leider so schwer.
11.03.2013, 22:56	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei bestimmt divergierenden Folgen der Form $\begin{eqnarray} a_n= \frac {b_n} {c1_n+c2_n} \end{eqnarray}$ bietet sich als Minorante $\begin{eqnarray} 2 \frac {b_n} {min (c1_n, c2_n)} \end{eqnarray}$ an, wenn c1 und c2 ca. gleich groß sind. edit: $\begin{eqnarray} 2 \frac {b_n} {min (c1_n, c2_n)} \end{eqnarray}$ ist leider falsch; richtig wäre $\begin{eqnarray} \frac {b_n} {2 max (c1_n, c2_n)} \end{eqnarray}$
11.03.2013, 23:00	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste das die Minorante sein oder?
11.03.2013, 23:13	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, da habe ich mich gleich zweimal verschrieben. Die 2 muss unter den Bruchstrich, und statt dem minimum müsste ein maximum stehen. (sonst ist es keine minorante) das heißt leider das $\begin{eqnarray} sqrt(n+2) \end{eqnarray}$ noch vernünftig abgeschätzt werden muss. ich würde vorschlagen: $\begin{eqnarray} sqrt(n+2) < sqrt(4n) \end{eqnarray}$ (für alle n>0)
11.03.2013, 23:21	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist das die minorante oder?
11.03.2013, 23:23	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du hier schon erkennst, dass diese Folge divergiert, dann ist das eine geeignete Minorante.
11.03.2013, 23:27	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh jetzt nicht genau warum ich diese Abschätzung machen soll? Und wie du auf die kommst?
11.03.2013, 23:37	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
für alle n>0 gilt: $\begin{eqnarray} 2\leq 2n \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \sqrt{n+2}< \sqrt{n+2n} \end{eqnarray}$ aber von 3n lässt sich so schlecht die Wurzel ziehen, also fand ich 4n schöner. Dann hast du $\begin{eqnarray} a_n > \frac n {4 \sqrt n} = \frac {\sqrt n} 4 \end{eqnarray}$ und das divergiert offensichtlich
11.03.2013, 23:40	Heat12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bist du auf den letzten teil gekommen , das verstehe ich nicht?
11.03.2013, 23:55	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_n = \frac n {\sqrt {n+2}+ \sqrt {n}} > \frac n {\sqrt {n+2}+ \sqrt {n+2}} = \frac n {2 \sqrt {n+2}} > \frac n {2 \sqrt {4n}} = \frac n {2 \cdot 2 \sqrt {n}} = \frac n {4 \sqrt {n}} = \frac {\sqrt n} {4} \end{eqnarray}$ (Zumindest für n>0) War das die unklare Stelle?
12.03.2013, 00:35	samsonian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin zwar nicht der Fragensteller, aber danke für die schöne Erklärung.
12.03.2013, 00:42	samsonian	Auf diesen Beitrag antworten »
[quote]Original von JdPL $\begin{eqnarray} \frac n {4 \sqrt {n}} = \frac {\sqrt n} {4} \end{eqnarray}$ Wenn du diesen Teil nicht verstehst, schreib die Wurzel mal als hoch einhalb bzw. hoch minus einhalb und führ dann die potenzrechenregel aus, das teilen bei gleicher basis heißt, dass die exponent addiert/subtrahiert werden.

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