euklidisch-, Hauptideal- und faktorielle Ringe, prim, irreduzibel?

11.03.2013, 21:03

Stefan03

euklidisch-, Hauptideal- und faktorielle Ringe, prim, irreduzibel?

Hi,

ich versuche gerade ein paar Begriff zu ordnen und zu verstehen.
Was ich weiß:
Jeder euklid. Ring ist Hauptidealring und jeder Hauptidelring ist ein faktorieller Ring.
Also ist auch jeder eukli. Ring ein faktorieller Ring?!? (1)

Im faktoriellen Ring sind die Begriff prim und irred. gleichbedeutend, oder?! Weil jedes Element ist genau dann irred, wenn es prim ist.

In einem Hauptidealring ist jedes irred. El. prim und in einem
Integritätsbereich ist jedes Primelement irred.

Aber das ist doch irgendwie komisch? Wenn jeder Hauptidealring ein fakt. Ring ist und in diesem sind ja irred. und prim gleichbedeutend, dann müsste das doch in einem Hauptidealring auch so sein?!? Oder hab ich da irgendwo einen Denkfehler?
Offensichtlich mach ich da irgendwie etwas falsch, weil ich in manchen Aufgaben gesehen habe, dass z.B in $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{-3}] \end{eqnarray*}$ 7 irred, aber nicht prim ist. (Zahlen zufällig gewählt...) und das ist ja ein Widerspruch zu (1)

Ich würde gerne wissen, wo ich hier einen Trugschluss mache smile

11.03.2013, 22:15

tmo

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Es ist wie du gesagt hast: In Hauptidealringen ist prim und irreduzibel dasselbe.

Dein Gegenbeispiel ist keins, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\sqrt{-3}] \end{eqnarray*}$ ist ja gar kein Hauptidealring (auch nicht faktoriell).

Um einen Hauptidealring zu bekommen, musst du in diesem Fall zum ganzen Abschluss $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[\zeta_3] \end{eqnarray*}$ übergehen, wobei $\begin{eqnarray*} \zeta_3 \end{eqnarray*}$ dritte Einheitswurzel ist.

12.03.2013, 08:31

Stefan03

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Aber es ist doch zumindest ein euklidischer Ring?!?

12.03.2013, 08:36

lgrizu

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Jeder euklidsche Ring ist ein Hauptidealring, der Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [ \sqrt{-3} ] \end{eqnarray*}$ ist nicht euklidsch.
Anschaulich ist in euklidschen Ringen jedes Ideal in dem Hauptideal entahlten, das von dem ggT der Erzeuger des Ideals erzeugt wird.
Zwei Elemente, die keinen ggT haben sind schnell gefunden, so haben $\begin{eqnarray*} 2+2 \sqrt{3} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ zwar die gemeinsamen Teiler $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{3} i \end{eqnarray*}$ , diese sind aber teilerfremd.

Ergo, nicht euklidsch.....

12.03.2013, 11:57

Stefan03

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Zitat:

Original von lgrizu
Jeder euklidsche Ring ist ein Hauptidealring...

OK, soweit war ich auch schon. Dann passt meine Argumentation schon irgendwie, nur bin ich irgendwie "stillschweigend" davon ausgegangen, dass Z adjungiert irgendwas immer euklidsch ist...

Laut einer Aufgabe, die ich jetzt rausgesucht habe, ist $\begin{eqnarray*} Z[\sqrt{-2}] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N(a+b\sqrt{-2})=a^2+2b^2 \end{eqnarray*}$ ein euklid. Ring. Gibts irgendein "einfaches" Kriterium, wann Z adjugiert Ring euklidisch ist? Weil eine Höhenfkt/Normfkt. zu finden ist ja nicht unbedingt einfach und bedarf meiner Meinung auch etwas Erfahrung.

Nochmal kurz eine Verständnisfrage: Wenn jeder eukl. Ring ein fakt. Ring und ist im fakt. Ring prim=irred ist, dann müsste doch auch in einem eukl. Ring prim=irred sein?!?

12.03.2013, 12:32

lgrizu

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Welche Argumentation passt "irgendwie" ?

Es ist eigentlich ganz einfach:

Jeder euklidsche Ring ist ein Hauptidealring, und jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring, die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht.

Also ist selbstredend in einem euklidschen Ring jedes Hauptideal auch prim und andersherum.

Wenn wir die Norm betrachten, dann betrachten wir zumeist die quadratische Norm, allerdings gibt es auch ganzheitsringe, die mit einer anderen als der quadratischen Norm versehen einen euklidschen Ring ergeben.

Das Kriterium ist einfach die Definition eines euklidschen Ringes:

Ein Integritätsring R heißt euklidsch, wenn eine Funktion $\begin{eqnarray*} \delta: R \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ existiert mit der Eigenschaft, dass zu allen $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ Elemente $\begin{eqnarray*} q,r \in R \end{eqnarray*}$ existiren, so dass $\begin{eqnarray*} a=qb+r \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \delta (r) < \delta (b) \end{eqnarray*}$ .

12.03.2013, 12:40

Stefan03

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Zitat:

Original von Stefan03
Nochmal kurz eine Verständnisfrage: Wenn jeder eukl. Ring ein fakt. Ring und ist im fakt. Ring prim=irred ist, dann müsste doch auch in einem eukl. Ring prim=irred sein?!?

Diese Argumentation....

OK, danke. Ich glaube, jetzt sind alle formulierbaren Fragen beantwortet smile

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