Quadratische Matrix / Determinante

11.03.2013, 22:03	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Matrix / Determinante Hallo ! Hätte folgende Problemstellung: Man hat eine quadratische Matrix der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Wobei A und B ebenfalls wieder quadratisch ( aber nicht unbedingt gleich groß) sind. Man soll zeigen das $\begin{eqnarray} det(M) = det(A) det(B) \end{eqnarray}$ gilt. Nagut also ich hab das auch mal mittels eines Bsp nachgerechnet, stimmt. Nur weiß ich jetzt nicht genau wie ich das beweisen soll. Da im linken Eck 0 steht ist es irgendwie eingängig das nur A und B eine Rolle spielen und C nicht. Primitiv und ahnungslos wie ich bin würde ich ja einfach sagen man kann zB die n x n Matrix A durch det(A) ersetzen, das gleiche mit B. Weil dann det(M) = det(A)det(B) - [det(C)*0]... Oder muss ich hier die det von M komplett allgmein berechnen, das gleiche mit A und B und dann irgendwie weiter? schonmal danke für die antworten !
11.03.2013, 22:56	HAB	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Matrix / Determinante Versuch einmal zu diagonalisieren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A' & C' \\ 0 & B' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei A' und B' Dreiecksmatrizen sind. Beachte, dass an der Entstehung von A' nur A und an B' nur B beteiligt ist
12.03.2013, 15:14	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh ok danke, also würd jetzt folgendes machen: A --> A' und B --> B' dann ist die ganze Matrix M auch eine Diagonalmatrix. Determinante einer Diagonalmatrix sind die ja die Werte der hauptdiagonale multipliziert. Kann ich also sagen: $\begin{eqnarray} det(M) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \cdot b_{44} \cdot b_{55} \cdot b_{66} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow det(B) = b_{44} \cdot b_{55} \cdot b_{66} \end{eqnarray}$ die Indexe müssten jetzt halt noch allgemein sein aber kann das sonst so machen ?
13.03.2013, 09:11	HAB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genauso Nur $\begin{eqnarray} det(M')=a'_{11}\cdot a'_{22} \cdot \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray}$ Zudem musst du beachten, dass sich bei dieser Umformung, wenn Zeilenvertauschungen vorkommen, das Vorzeichen der Det ändert. Also $\begin{eqnarray} det(M)=(-1)^{k}detM \end{eqnarray}$ wobei k die Anzahl der vorkommenden Zeilenvertauschungen ist. Diese Vorzeichenvertauschungen tauchen aber auch in gleicher Weise bei den Untermatrizen A und B auf, so dass sie die Argumentation nicht stören. Andere Veränderungen der Determinante treten nicht auf, wenn du dich bei der Diagonalisierung auf folgende Operationen beschränkst. - Addition des Vielfachens (evtl. auch negativ) einer Zeile zu einer Anderen. - Vertauschung von Zeilen falls nötig
13.03.2013, 10:28	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok alles klar ! Vielen dank nochmal !

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