p-Norm mit 0 < p < 1

12.03.2013, 02:10	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
p-Norm mit 0 < p < 1 Wie der Titel bereits erahnen lässt, stehe ich vor der Frage, warum es für 0 < p < 1 keine p-Norm gibt. Gibt es dafür ein einleuchtendes Argument oder einen einfachen Beweis? Bis jetzt hab ich dazu nur gelesen, dass die Einheitskugel dann nicht mehr konvex ist und daher die Dreiecksungleichung nicht mehr gilt. Warum dass allerdings so ist, habe ich aber nicht verstanden.
12.03.2013, 09:09	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-Norm mit 0 < p < 1 hallo, du hast deine fragen doch schon fast alle selbst beantwortet. Nimm z.B. als norm p=1/2 und die vektoren a=(1,0) und b=(0,1) und berechne mal die normen von a und b, und dann die norm von a+b, dann wirst du schnell feststellen, dass die dreiecksungleichung verletzt ist. gruss ollie3
12.03.2013, 10:02	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber kann man daraus bereits schließen, dass es überhaupt keine p-Norm mit 0 < p < 1 gibt?
12.03.2013, 11:05	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch allg. zeigen. Fuer die Vektoren a und b von ollie gilt fuer ein p mit 0<p<1 : $\begin{eqnarray} \vert\vert a + b \vert\vert_p = \vert\vert \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \vert \vert_p = ( 1^p + 1^p )^\frac{1}{p} = 2^\frac{1}{p} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{p}-1} > 2 \cdot 1 = 2 \end{eqnarray}$ Die Ungleichung folgt daher, dass: p<1, also $\begin{eqnarray} \frac 1 p > 1 \end{eqnarray}$ also auch: $\begin{eqnarray} \frac 1 p - 1> 0 \end{eqnarray}$ womit auch folgt: $\begin{eqnarray} 2^{\frac{1}{p}-1}> 1 \end{eqnarray}$ Weiter gilt nun: $\begin{eqnarray} \vert\vert a \vert\vert_p + \vert\vert b \vert\vert_p = 1 + 1 = 2 \end{eqnarray}$ Daher folgt: $\begin{eqnarray} \vert\vert a + b \vert\vert_p > \vert\vert a \vert\vert_p + \vert\vert b \vert\vert_p \end{eqnarray}$ Das verletzt die Dreiecksungleichung.
12.03.2013, 12:28	Staubfrei	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank für die Hilfe, jetzt sollte alles klar sein.

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