Supremum von Mengen bestimmen

12.03.2013, 15:30

lelalin-ersti

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Supremum von Mengen bestimmen

Meine Frage:
Hallo, ich habe zwei Aufgaben zur Bestimmung des Supremums im Internet gefunden, leider keine Lösung dazu. Vielleich kann mir jemand von euch weiterhelfen bzw. sagen ob ich richtig oder falsch denke Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Aufgabe:
Geben Sie die Suprema folgender Mengen an (ohne Begründung):
a) $\begin{eqnarray*} \left\{ x \in \mathbb R | sin(1/x) = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \left\{ inf Y | (Y\subset \mathbb R ) \wedge ( Y \cap \left[0,1\right] \neq \emptyset \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) sup = 0

b) sup = {[0,1]} ???

12.03.2013, 15:59

weisbrot

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RE: Supremum von Mengen bestimmen
zu a): das ist erstmal keine richtig definierte menge, da die aussage sin(1/x)=0 nicht auf ganz IR definiert ist. entsprechend sollte sie eher $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb R^* | sin(1/x)=0\} \end{eqnarray*}$ sein, aber immernoch als teilmenge von IR aufgefasst.
und 0 ist außerdem nicht richtig. ich kann dir mind. ein element sagen, was drüber liegt, z.b. $\begin{eqnarray*} \frac 1{100\pi} \end{eqnarray*}$ . du suchst ja nach der größten nullstelle von sin(1/x) bzw. wenn es diese nicht gibt nach der kleinsten oberen schranke für diese, also schau dir erstmal an wie die nullstellen so liegen!

zu b): soll das "inf" in der menge bedeuten, dass das die menge der infima der entsprechenden teilmengen ist? dann kann man als supremum natürlich keine menge bekommen.
angenommen, das "inf" stände nicht da, dann wäre, wenn man sich die teilmengen bezüglich der inklusion geordnet denkt, IR selbst das supremum.

lg

12.03.2013, 16:02

chris95

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@ weisbrot: Es kann ja auch sein, dass man die Menge bei a) meint, also die reelen Zahlen, fuer die sin(1/x) definiert ist und wo sin(1/x) = 0 ist. Dann kaeme ein anderes Supremum heraus, also wenn man IR* betrachtet. Das ist, wie ich finde, nicht ganz klar.

12.03.2013, 16:06

weisbrot

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@chris: natürlich meint man die, aber die ist doch die gleiche wie die, die ich geschrieben hab. was stellst du dir unter IR* vor?
lg

12.03.2013, 16:13

chris95

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@weisbrot: Naja ich dachte halt, dass IR* doch IR + Unendlich ist, mit 1/0=oo ist. Dann kaeme ja als Supremum unendlich raus. Das meinte ich damit, oder denke ich jetzt falsch. Du meinst also man sollte die Menge in IR* betrachten und dann gucken wie das Supremum fuer nur die reelen Zahlen lautet, oder?

12.03.2013, 16:24

weisbrot

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@chris: ich dachte immer der stern bedeutet "ohne 0" und mit +- unendl. wird durch einen waagerechten strich darüber dargestellt. ich meinte jedenfalls "ohne 0", weil das ding eben sonst nicht wohldef. wäre, also ne rein formale sache. trotzdem gab es vorher ja keine gefahr das misszuverstehen (und jetzt plötzlich doch:/).
und damit "das immernoch als teilmenge von IR aufzufassen" meine ich, dass 0 trotz des herausnehmens noch ein zulässiges supremum wäre - auch ziemlich formal Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg

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12.03.2013, 16:28

lelalin-ersti

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Genauere Erklärungen zu der Aufgabe kann ich leider auch nicht machen, wie gesagt, ich habe die auf einem Übungsblatt online gefunden und bin selbst verwirrt - deshalb frage ich nach... geschockt

geschockt

Ich habe mir das Supremum immer so vorgestellt, dass es die oberste Schranke einer Funktion ist und ich merke, dass ich dann oft durcheinander komme. Also bildlich habe ich mir den höchsten y-Wert vorgestellt, und der y-Wert ist doch dann das Supremum? Z.b. bei -x^2+2 ist das Supremum doch 2 oder?

zur a)
Deshalb dachte ich bei der a, dass das Supremum null ist, weil es gezeichnet, der höchste zu treffende Wert ist?
Wenn es aber um die x-Werte geht, würde ich sagen, dass es kein Supremum gibt, weil da sie für unendlich viele x-Werte 0 annimmt, oder?

zur b)
ich dachte, die Aufgabe heißt dann sup{inf{ ... }}. Das würde für mich bedeuten, dass ich mir überlege, was das infimum ist und vom infimum, wiederum das Supremum herausnehme?? Deshalb die Menge [0,1], weil die offensichtlich das Infimum der angegebenen Menge ist und wenn ich sup{[0,1]} betrachte, dann ist es ja auch wieder [0,1] weil ich einfach nicht mehr über die Menge weiß?

12.03.2013, 16:28

Che Netzer

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Zitat:

Original von weisbrot
@chris: ich dachte immer der stern bedeutet "ohne 0" und mit +- unendl. wird durch einen waagerechten strich darüber dargestellt.

Ist auch so, wobei man in $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ aber auch nicht $\begin{eqnarray*} \frac10=\infty \end{eqnarray*}$ rechnet, immerhin gibt es auch noch $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .
Die reellen Zahlen mit nur einem Punkt in Unendlich wären $\begin{eqnarray*} \mathbb R\mathrm P^1 \end{eqnarray*}$ , da rechnet man aber eigentlich gar nicht.
Etwas wie $\begin{eqnarray*} \frac10=\infty \end{eqnarray*}$ schreibt man am ehesten in $\begin{eqnarray*} \hat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}\cong\mathbb C\mathrm P^1\cong S^1 \end{eqnarray*}$ .

12.03.2013, 16:38

lelalin-ersti

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Ach ja, bei Aufgabe a)

sin(1/x)=0 für
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{\pi*n} \forall n \in \mathbb N+ \end{eqnarray*}$

Ist dann das Supremum x = 1/pi?

12.03.2013, 16:40

weisbrot

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danke che

Augenzwinkern

@lelalin: das supremum einer funktion ist sozusagen das (mengen-)supremum ihrer funktionswerte (für f(x)=-x^2+2 ist das eben die menge der reellen zahlen <=2 -> und da ist 2 das supremum). und allg. das supremum einer menge ist eben die kleinste obere schranke ihrer elemente, und nicht die kl. o schr. der bilder ihrer elemente unter irgendeiner abbildung ["größte"->"kleinste" editiert, danke chris].
um also in a) das supremum zu finden solltest (musst natürlich nicht) du dir erstmal eine grobe vorstellung davon machen, wie diese menge aussieht. das ist eben die menge der nullstellen von sin(1/x).
ihren maximalen wert nimmt diese funktion wie du richtig sagst bei x=0 an, das supremum dieser funktion (was hier nicht gefragt ist) wäre dann aber eben dieser wert (1), und nicht der x-wert an dem die 1 angenommen wird.
das dann soweit erstmal klar?
zu b) würd ich dann danach kommen.

lg

12.03.2013, 16:42

weisbrot

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Zitat:

sin(1/x)=0 für
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{\pi*n} \forall n \in \mathbb N+ \end{eqnarray*}$
Ist dann das Supremum x = 1/pi?

ja, genau! also fast - Z\{0} anstatt IN (und der allquantor ist da etwas fehl am platz).
1/pi ist auf jeden fall dann das richtige supremum!
lg

12.03.2013, 16:45

chris95

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Zitat:

Original von weisbrot
und allg. das supremum einer menge ist eben die größte obere schranke ihrer elemente, und nicht die gr. o schr. der bilder ihrer elemente unter irgendeiner abbildung.

Du meinst wohl die kleinste obere Schranke Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2013, 16:51

lelalin-ersti

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Ok super. Also die a) wäre dann gelöst - vielen Dank.

Und wie ist das bei der b?
Ich denke nach wie vor, dass ich das Supremum nicht genau angeben kann, es aber in der Menge [0,1] liegt. Was meinst du?
Ich kann das mit dem inf ja nicht einfach ignorieren?

12.03.2013, 16:57

chris95

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Doch, du kannst schon ein Supremum angeben, denn sei Y das Intervall [1,5] so ist Y eine Teilmenge in IR und Y geschnitten mit [0,1] ist nicht leer. Das Infimum von Y waere dann 1.

Somit ist das Supremum schon mal sicher groesser gleich 1.

Jetzt sagst du mir noch, warum es nicht groesser als 1 ist.

12.03.2013, 16:58

weisbrot

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ok, also zu b):

Zitat:

ich dachte, die Aufgabe heißt dann sup{inf{ ... }}.

das kommt eben darauf an: steht da "bestimme das supremum von $\begin{eqnarray*} \{\operatorname{inf} Y | ...\} \end{eqnarray*}$ " oder "... von $\begin{eqnarray*} \operatorname{inf} \{Y | ...\} \end{eqnarray*}$ "?
lg

12.03.2013, 17:02

lelalin-ersti

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Wegen dem undzugleich kann die ganze Menge ja nur zwischen [0,1] liegen, oder nicht? So kann auch das inf der Menge nur zwischen [0,1] liegen.

Wenn ich allerdings die Menge [0,5] habe, dann ist das inf zwischen [0,1], also inf=0 also sup = 0 ?

Also gilt dass nicht für alle Mengen, dass das sup = 1 ist..

Es könnte auch eine Menge geben sein, die nur die Werte 0,5 und 5 enthält, oder nicht? dann wäre inf = 0,5 und sup = 0,5?

12.03.2013, 17:03

lelalin-ersti

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So wie ich es in der Angabe geschrieben habe. Geben Sie das Suprema folgender Mengen an

a) {inf{...}...}

12.03.2013, 17:10

chris95

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Nennen wir mal A die Menge der Infinma von Y. Das Ziel ist es das Supremum von A zu bestimmen, wobei fuer Y bestimmte Eigenschaften gelten:

Y soll eine Teilmenge von IR sein.
Y geschnitten mit [0,1] soll nicht die leere Menge sein.

Waehle ist also Y=[1,5] so gilt sowohl Y Teilmenge von IR als auch Y geschnitten mit [0,1] ungleich der leeren Menge, denn die Schnittmenge ist die einelementige Megne {1} .

Daher erfuellt Y alle meine Eigenschaften. Das Infimum von Y ist 1.

Daher ist die Zahl 1 ein Element von A.

Somit ist das Supremum von A schon mal groesser gleich 1.

12.03.2013, 17:13

weisbrot

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ok, das heißt dann: nicht das sup vom inf, sondern das sup von der menge der infima der teilmengen mit der gegebenen eigenschaft. wobei man hier sagen muss, dass das infimum mancher solcher mengen - z.b. von IR selbst - in IR überhaupt nicht existiert, hier hätte ich also normalerweise wieder was zu meckern, aber belassen wirs mal dabei.
wichtig ist dass du erstmal verstehst was das für eine menge ist, von der du das sup bestimmen sollst. tust dus?
lg

edit: @chris: wer'n nun?

12.03.2013, 17:51

lelalin-ersti

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@weisbrot:
Ich verstehe das so: Ich habe eine Menge Y, die ist eine Teilmenge von R UND ZUGLEICH besitzt sie mindestens ein Element zwischen [0,1].
Bsp:
[-5,5]
[-5,0]
[1,5]
Dann denke ich, dass ich das inf der Menge bestimmen muss, dass wäre
-5
-5
1

Und davon dann das Supremum, was das gleiche wäre, da die Menge der Infima einelementig ist und somit inf und sup? Richtig?

@chris95:
Warum ist das sup >= 1? Ich dachte eben, dass das sup dann gleich das inf ist?

12.03.2013, 18:01

chris95

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Du musst das Supremum einer Menge A bestimmen.

Die Elemente der Menge A sind jedoch Infima verschiedener Mengen Y.

Somit musst du das Supremum einer Menge von Infima bestimmen.

Da in A das Element 1 ist, so muss das Supremum schon mal groesser gleich 1 sein.

Kannst du mir verschiedene Menge Y sagen und dann noch sagen wie die Menge A aussieht.

12.03.2013, 18:11

lelalin-ersti

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Bsp:
Y1 =[-5,5]
Y2 =[-5,0]
Y3 =[1,5]

inf(Y1) = -5 :=M1
inf (Y2) =-5 :=M2
inf(Y3) =1 := M3

sup(m1) = -5 = inf(Y1)
sup(m2) = -5 = inf(y2)
sup(m3) = 1 = inf(y3)

Aber das sup ist doch nicht immer größer gleich 1??? Im Gegenteil, meine Vermutung ist, dass das sup = inf ist, das aber nicht genauer bestimmt ist?

12.03.2013, 18:21

chris95

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Zitat:

Original von lelalin-ersti
Bsp:
Y1 =[-5,5]
Y2 =[-5,0]
Y3 =[1,5]

Okay, weitere Beispiele waren [-100, 5] [-100000, 0.4] etc.

Zitat:

inf(Y1) = -5 :=M1
inf (Y2) =-5 :=M2
inf(Y3) =1 := M3

Auch okay.

Zitat:

sup(m1) = -5 = inf(Y1)
sup(m2) = -5 = inf(y2)
sup(m3) = 1 = inf(y3)

Jetzt machst du Quatsch. A ist die Menge aller Infima, also die Menge aller M's.

Somit ist in A schon mal drinnen: -5 und 1 drinnen. Meine obigen Beispiele liefern noch -100 und -100000 als Element in A. Wie sieht also A allgemein aus?

Zitat:

Aber das sup ist doch nicht immer größer gleich 1??? Im Gegenteil, meine Vermutung ist, dass das sup = inf ist, das aber nicht genauer bestimmt ist?

Du sollst das Supremum der Menge A errechnen. Stelle dazu erstmal A auf.

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