Wendetangente berechnen

12.03.2013, 19:04

Kimyaci

Wendetangente berechnen

Aufgabe: "Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente für jeden Wendepunkt."

a) $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 - 6x^2 + 20 \end{eqnarray*}$

Ich hab erst mal die Ableitungen gebildet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 - 12x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 6x - 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 6 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun 2. Ableitung gleich Null setzen und auflösen:

$\begin{eqnarray*} 0= 6x - 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12 = 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$

In die Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 8 - 24 + 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 4 \end{eqnarray*}$

Somit wäre der Wendepunkt bei:

$\begin{eqnarray*} W(2/4) \end{eqnarray*}$

Aber wie komm ich an die Gleichung?!

12.03.2013, 19:08

Gast11022013

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Wie lautet den die allgemeine Form einer Tangente?

12.03.2013, 19:23

Kimyaci

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$\begin{eqnarray*} m = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll mich das jetzt weiterbringen?

12.03.2013, 19:25

Gast11022013

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m wäre nur ein Bestandteil der allgemeinen Funktionsvorschrift für eine lineare Funktion und bezeichnet für gewöhnlich die Steigung.

Eine lineare Funktion hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=m\cdot x+b \end{eqnarray*}$

Zu erst sollten wir die Steigung bestimmen. Welche Ableitung gibt die Steigung an?
Die Steigung welches Punktes ist für uns interessant?

12.03.2013, 19:27

Kimyaci

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Zitat:

Original von Gmasterflash
m wäre nur ein Bestandteil der allgemeinen Funktionsvorschrift für eine lineare Funktion und bezeichnet für gewöhnlich die Steigung.

Eine lineare Funktion hat die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y=m\cdot x+b \end{eqnarray*}$

Zu erst sollten wir die Steigung bestimmen. Welche Ableitung gibt die Steigung an?
Die Steigung welches Punktes ist für uns interessant?

Ja entschuldige, ist mir gerade auch aufgefallen.

Die erste Ableitung gibt die (Tangenten)steigung an. Die Steigung am Wendepunkt? Also x = 2?

12.03.2013, 19:30

Gast11022013

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Genau. Wir müssen die Steigung im Wendepunkt mittels der 1. Ableitung bestimmen. Also einfach einsetzen. Freude

Bitte die Vollzitate unterlassen. Das macht alles recht unübersichtlich.
smile

Wie geht es dann weiter?

12.03.2013, 19:33

Kimyaci

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Ok, ich lass die Zitate weg.

Okay dann einfach einsetzen?

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 - 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2) = 12 - 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun hätte ich die Steigung... aber jetzt?

12.03.2013, 19:36

Gast11022013

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Du hast in eine falsche Ableitung eingesetzt.
Die lautet

$\begin{eqnarray*} f '(x)=3x^2-12x \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} f '(x)=3x^2-12 \end{eqnarray*}$

Wenn die Steigung im Wendepunkt Null wäre, dann hätten wir einen Sattelpunkt.

12.03.2013, 19:38

Kimyaci

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Huch, da hab ich glatt das x übersehen.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2 - 12x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(2) = - 12 \end{eqnarray*}$

Und nun?

12.03.2013, 19:39

Gast11022013

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Jetzt haben wir m=-12

Also schon mal

y=-12x+b

Jetzt haben wir noch den Punkt (2|4) welchen unsere Tangente berührt.
Denke mal an das Einsetzungsverfahren.
smile

Edit: Sorry, ich muss weg. An dieser Stelle kann jemand gerne übernehmen. Andernfalls kann ich erst in ca. 2-3 Stunden nochmal reingucken.

Du bist aber auch schon fast am Ziel.
Wink

12.03.2013, 19:46

Kimyaci

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Wenn ich einsetze (x und y):

$\begin{eqnarray*} 4 = -12 \cdot 2 + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 = - 24 + b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = 28 \end{eqnarray*}$

Wäre die Tangentengleichung dann:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -12x + 28 \end{eqnarray*}$ ?

12.03.2013, 22:09

Gast11022013

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Ja, dass sieht sehr gut aus. Freude

13.03.2013, 19:22

Kimyaci

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Vielen Dank! Wink

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