Vektoren - Aufgaben

12.03.2013, 22:22

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Vektoren - Aufgaben

Hi,

1) Erstelle aus den Punkten A (2 | 3) und B (4 | 7) ein Quadrat ABCD (es gibt 2 Lösungen!)
und verschiebe es dann so, dass der Punkt A zum Punkt A' (–3 | 4) wird. Wo landen dann B, C,
D?
2) Welche Gesamtverschiebung ergibt sich, wenn man die Bewegungen
B1 (3 | –4), B2 (–2 | –5) und dreimal B3 (1 | 1) durchführt?
3) Verschieben Sie die Pyramide mit den Basispunkten
A (0 | 1 | –1), B (2 | 3 | –1), C (–1 | 2 | –1) und der Spitze S (0 | 0 | 7) so, dass die Spitze auf
S' (4 | 3 | 10) zu liegen kommt.

Da es zu diesen Anfängeraufgaben keine Lösung (Lösungsbuch) gibt, poste ich diese hier.
Bitte korrigieren.

1.
Ich erstelle 4 Vektoren
1. Lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BC} = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{CD} = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{DA} = d \end{eqnarray*}$

oder
2. Lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{DB} = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = d \end{eqnarray*}$

soweit stimmt es?

A' (–3 | 4)

Wie verschiebe ich es hierhin?

lg

13.03.2013, 02:45

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vektoren - Aufgaben
Deine 2. Lösung bildet ja nicht mal ein Quadrat, es hat ja nur 3 Seiten (a=d)!
Wenn ich das richtig sehe und C und D gar nicht angegeben sind, sollst du diese wohl als Lösung angeben, anstatt einfach nur Verbindungen zwischen den Punkten, die bei der Benennung ABCD eigentlich auch schon eindeutig sind, aufzuzählen.
Zum verschieben, einfach den entsprechenden Vektor addieren, sodass A auf A' landet.

13.03.2013, 09:22

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

b.

+ dem Vektor (-4|1) mit allen Vektoren gleichermaßen natürlich.

a.

2. Lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{DB} = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = d \end{eqnarray*}$

Somit habe ich beide Lösungsvorschläge.
Sind diese auch mit Zahlen möglich, obwohl ich nur zwei Punkte gegeben habe?

Da ein Quadrat = alle Seiten gleich, sollte es möglich sein.

lg

13.03.2013, 18:00

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine zweite Lösung ist ja immer noch die gleiche mir nur drei Seiten verwirrt

verwirrt

.
Und wie gesagt, ich denke, dass du die exakten Punkte angeben musst. Da du dich im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ befindest, gibt es auch nur zwei Lösungen. Irgendeine Idee dazu?

Zu b: $\begin{eqnarray*} \binom{2}{3}+\binom{-4}{1} \neq \binom{-3}{4} \end{eqnarray*}$
Wahrscheinlich hast du dich nur verrechnet und meinst das Richtige.

13.03.2013, 22:40

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

b.

+ dem Vektor (-5|1) mit allen Vektoren gleichermaßen natürlich.

a.
1. Lösung stimmt ja, hier tausche ich einfach die Spitze und den Schaft, also ein Quadrat in die andere Richtung.
2. Lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{DC} = c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{CB} = d \end{eqnarray*}$

ps.
Mein Internet ist alle, da ich pro Monat nur 25 GB habe, ich bin deshalb off., werde mir Morgen zusätzliches Guthaben buch.

lg

13.03.2013, 23:02

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann bis morgen.
Aber wie gesagt: Du sollst die beiden Punkte C und D angeben. Mit Koordinaten, also $\begin{eqnarray*} C(c_{1}|c_{2}|c_{3}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D(d_{1}|d_{2}|d_{3}) \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

14.03.2013, 14:47

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.

Warum gibt es hier nur 2 Antwortmöglichkeiten?
Gute Frage:
A + B wird jeweils von der Angabe übernommen, C und D wird interessant.

1.
Ich erstelle 4 Vektoren
1. Lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = a(2|4|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BC} = b(4|7|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{CD} = d(c|c|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{DA} = d(d|d|) \end{eqnarray*}$

oder
2. Lösung
$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = a(-2|4|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AD} = b(4|7|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{DB} = c(c|c|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = d(d|d|) \end{eqnarray*}$

Es gibt 2 Lösungen, weil ich von A nach B komme und danach wählen kann ob ich nach recht oder links abbiege. Ob ich von A nach B gehe oder von B nach A ändert die Richtung aber nicht das Quadrat.

14.03.2013, 15:49

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Die verschiedenen Lösungen bedeuten nicht, dass die Vektoren in unterschiedliche Richtungen zeigen.
Ob eine Seite des Quadrats als $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BA} \end{eqnarray*}$ dargestellt wird, spielt erstmal keine Rolle. Abgesehen davon ist deine 2. "Lösung" falsch. Im Quadrat ABCD sind D und B nicht verbunden.

Du kannst das ganze ja mal in eine Koordinatensystem einzeichnen, dann sollte klar werden, warum es nur zwei Lösungen gibt.
Um diese zu finden, denk daran dass alle Seiten eines Quadrates gleich lang sind und es Winkel von 90° hat. Es gilt also
$\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}| \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0 \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 16:16

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

So müsste er dann wohl aussehen, ich finde aber die 90° Winkel.

lg

14.03.2013, 16:55

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich quadratisch. Außerdem scheinen die Punkte nicht wirklich zu stimmen. Es sollte eher aussehen wie angehängt.

Zur Rechung: Überleg doch mal, du brauchst nur einen Vektor zu finden, der senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ ist, musst diesen dann auf die gleiche Länge wie $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ bringen, und dann zu B addieren oder subtrahieren (daher die zwei Lösungen) um C zu erhalten.

14.03.2013, 17:22

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Quadrat müsste eigentlich auch stimmten, außer dem recht. Winkel.

14.03.2013, 17:26

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bis auf die rechten Winkel. Ich hab erst nicht ganz verstanden, wo dein Ursprung sein soll. Ist auch egal.
Kannst du mit meiner Erklärung zur Rechnung denn was anfangen?

14.03.2013, 17:37

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss um 18:15 leider wieder los, bin daraufhin um 21 - 01 Online, wenn du Zeit hast.

Zur Thematik

Ich versuche die Dinge zu verstehen. Es fällt mir hier schon schwer, obwohl es sich wohl um ein sehr einfaches Beispiel handelt. Big Laugh

Big Laugh

Warum es 2 Lösungen gibt?

Dies sieht man vor allem Graphisch sehr gut.
Wie dies rechnerisch zu beweisen wäre, weiß ich leider nicht.
Ist es denn überhaupt rechnerisch beweisbar?

Rechenweg:

Gleichlang = Länger erhalte durch Skalierung.
Ich würde es gerne über den Rechenweg machen da dies unser Lehrer fordert.

Finden:

Es muss demnach auf der x-Achse genausoweit nach rechts gehen wie mein Vektor AB auf der y-Achse hinauf geht.

Ps.
Ich verstehe deine Vorschläge gut. Beim umsetzen dieser happert es aber noch.

14.03.2013, 17:51

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmals einen guten (richtigen) Graphen dazu erstellt.

Die Frage ist nun, wie ich auf rechnerischem Weg zum Punkt C D komme bzw.
wie ich zu den Vektoren BC und CD komme.(Deren Werte).

lg

15.03.2013, 01:33

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Den Rechenweg hab ich beschrieben. Wo liegt das Problem?
Um einen senkrechten Vektor zu finden, kannst du ja das Skalarprodukt gleich 0 setzen und das enstehende Gleichungssystem lösen. Wie du die Länge des Vektors anpasst, weißt du ja.
Dann einfach zu B addieren.

15.03.2013, 01:53

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt sehe ich es.

Zitat:

Wie du die Länge des Vektors anpasst, weißt du ja.

verwirrt

Ps.
Den gesamten Rechenweg mache ich Morgen.
Meine Augen fallen schon zu. Werde mich zu der Thematik nochmal einlesen.

15.03.2013, 17:41

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie du die Länge des Vektors anpasst, weißt du ja.

?

2.

3*x + 4*y = 0

Ich löse die Gleichung und erhalte die Werte von c.
2. Unbekannte - 1 Gleichung ..

Gleichungssystem?
Wo - Warum?

15.03.2013, 18:27

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist nur eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Es gibt ja auch unendliche viele Lösungen, da es Vektoren verschiedenen Betrages gibt, die zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ senkrecht sind.
Denk daran: Die Werte für x sind nicht C sondern $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ .
Löse jetzt nach y auf und setze irgendetwas für x ein.
Nun hast du einen Vektor, der senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ ist.
Teile ihn durch seinen Betrag und multipliziere ihn mit dem Betrag von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ .
Addiere den Vektor, den du dadurch erhältst, zu B um C zu erhalten, addiere ihn zu A um D zu erhalten.
Nun wiederhole den letzten Schritt und subtrahiere ihn statdessen um die zweite Lösung zu erhalten.

Ps. Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} 3x + 4y = 0 \end{eqnarray*}$ ?
Es muss heißen
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \cdot \binom{x}{y}=\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) \cdot \binom{x}{y}=\left( \binom{4}{7}-\binom{2}{3}\right) \cdot \binom{x}{y}=\binom{2}{4} \cdot \binom{x}{y}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2x+4y=0 \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 19:06

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich verstehe es leider nicht so, wie ich es wünsche.

Zitat:

da es Vektoren verschiedenen Betrages gibt

smile

Warum?
-------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 2x + 4y = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$

Verstehe nicht, warum dies mir angibt, dass ich unendlich viele Lösungen habe und auch nicht ganz wie es nun weiter geht.

Warum setze ich für x - eine beliebige Zahl ein?

-----------------------------------------------------------------------

Zitat:

Die Werte für x sind nicht C sondern

verwirrt

------------------------------------------------------------------------

Zitat:

Teile ihn durch seinen Betrag und multipliziere ihn mit dem Betrag von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ .

Skalarprodukt?

Zitat:

Addiere den Vektor, den du dadurch erhältst, zu B um C zu erhalten, addiere ihn zu A um D zu erhalten.

verwirrt

15.03.2013, 19:54

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn du einen senkrechten Vektor gefunden hast, kannst du dessen Länge einfach verdoppeln und er ist immer noch senkrecht.
$\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \perp \overrightarrow{AB} ~\Rightarrow ~ a\binom{x}{y} \perp \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Warum setze ich für x - eine beliebige Zahl ein?

Alle $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ , bei denen $\begin{eqnarray*} 2x + 4y = 0 \end{eqnarray*}$ sind senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ .

Setze also irgendeine Zahl für x oder y ein, um eine der Lösungen zu erhalten.
Die Zahlen x und y sind aber nicht die Koordinaten für C, sondern die Verbindung von B zu C (bzw. A zu D). Also
$\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \neq \overrightarrow{OC} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \binom{x}{y}=a\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

Der Faktor a steht dabei, weil die Länge von $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt der von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ entspricht.

Wir wollen nun $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ finden.
Wir wissen $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \frac{1}{a}=\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$
Was ist nun a?
Da ABCD ein Quadrat ist, muss gelten $\begin{eqnarray*} |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~ |\overrightarrow{AB}|=|\binom{x}{y} \frac{1}{a}|~\Rightarrow ~ a=\frac{|\binom{x}{y}|}{|\overrightarrow{AB}|}~\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\binom{x}{y} \frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\binom{x}{y}|} \end{eqnarray*}$

Hängen wir $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ an B an, verbinden wir B und C.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass das helfen konnte. Ich muss jetzt weg, ich guck morgen noch einmal vorbei.

16.03.2013, 11:39

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Ich tue mich immer noch schwer es zu verstehen. (gänzlich).

Zitat:

Setze also irgendeine Zahl für x oder y ein, um eine der Lösungen zu erhalten.
Die Zahlen x und y sind aber nicht die Koordinaten für C

C = Die Strecke zwischen B und C, right?

.........................................................................................................

$\begin{eqnarray*} 2x + 4y = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hat doch genau eine Lösung?

-----------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \frac{1}{a}=\overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$

Es ist doch a?
------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow ~ |\overrightarrow{AB}|=|\binom{x}{y} \frac{1}{a}|~\Rightarrow ~ a=\frac{|\binom{x}{y}|}{|\overrightarrow{AB}|}~\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\binom{x}{y} \frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\binom{x}{y}|} \end{eqnarray*}$

Warum habe ich am Ende nochmal ein $\begin{eqnarray*} {|\binom{x}{y}|} \end{eqnarray*}$

lg

16.03.2013, 13:37

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

C = Die Strecke zwischen B und C, right?

Eben nicht, darum meinte ich ja dass $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \neq \overrightarrow{OC} \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ ist die Strecke zwischen B und C oder ein beliebiges Vielfaches davon.

$\begin{eqnarray*} 2x+4y=0 \end{eqnarray*}$ hat unendlich viele Lösungen. Das ist generell so bei Gleichungssystemen, die mehr Variablen als Gleichungen haben.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot (-2) + 4 \cdot 1=0 \end{eqnarray*}$
hier haben wir schon mal eine Lösung. Wir können die Werte von x und y aber mit beliebigen Skalaren multiplizieren und die Gleichung ist immer noch erfüllt!

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 2 + 4 \cdot (-1)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 10 + 4 \cdot (-5)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{-1}{3} + 4 \cdot \frac{1}{6}=0 \end{eqnarray*}$

Nur um ein paar Beispiele zu nennen.

Zitat:

Es ist doch a?

Das verstehst ich nicht ganz verwirrt

verwirrt

Gibt es eine Verwechslung mit dem Punkt A? a habe ich nur als beliebigen Faktor gewählt, da $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt die gleiche Länge hat wie $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Warum habe ich am Ende nochmal ein $\begin{eqnarray*} {|\binom{x}{y}|} \end{eqnarray*}$

Warum sollte da keins mehr sein?
Wenn $\begin{eqnarray*} a=\frac{|\binom{x}{y}|}{|\overrightarrow{AB}|} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\binom{x}{y}|} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\frac{1}{a} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\binom{x}{y}|} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$

Erklär es dir so: Du teilst $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ durch seinen Betrag. Jetzt hat er die Länge 1. Nun multiplizierst du ihn mit dem Betrag von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ und er hat die gleiche Länge wie $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ .

16.03.2013, 15:09

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Damit ist die erste Aufgabenstellung fast gelöst.

Zitat:

1) Erstelle aus den Punkten A (2 | 3) und B (4 | 7) ein Quadrat ABCD (es gibt 2 Lösungen!)
und verschiebe es dann so, dass der Punkt A zum Punkt A' (–3 | 4) wird. Wo landen dann B, C,
D?

Um auf A' (–3 | 4) zu kommen addiere ich einfach den entsprechenden Vektor.

B und C muss dann auch mit demselben Vektor addiert werden.

Zitat:

2) Welche Gesamtverschiebung ergibt sich, wenn man die Bewegungen
B1 (3 | –4), B2 (–2 | –5) und dreimal B3 (1 | 1) durchführt?

Diese Aufgabe hat aber keinen Bezug zu der vorherigen Aufgabe?

Ich brauche doch zwei Orte bevor ich eine Bewegung ausführen kann.

lg

16.03.2013, 15:51

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Damit ist die erste Aufgabenstellung fast gelöst.

Gut, du kannst ja deine errechnete Lösungen angeben, wenn du willst.

Die zweite Aufgabe scheint keinen Bezug zur ersten zu Haben.
Du kannst ja auch einen einzelnen beliebigen Punkt verschieben. Die Gesamtbewegung der drei angegeben Bewegungen kannst du dir graphisch vorstellen, indem du die Vektorpfeile aneinander setzt. Du musst also eigentlich nur die Vektoren addieren.

16.03.2013, 15:59

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

1.

Ich hoffe, ich habe es richtig verstanden.
Fragen werde ich vor allem stellen, nachdem ich mir alles nach einigen Tagen wiederhole(nochmal ansehe), wenn denn Fragen auftauchen.

Wenn $\begin{eqnarray*} a=\frac{|\binom{x}{y}|}{|\overrightarrow{AB}|} \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\binom{x}{y}|} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC}=\frac{1}{a} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist mir nicht ganz klar. Entstammt einer Regel vom Bruchrechnen, nehme ich an.

Ein anderes aber ähnliches Problem:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA} \end{eqnarray*}$

2.

Bewegung_1 + Bewegung_2 = Bewegung_3
Gibt es dafür eine Begründung?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

3x B_3 = B_3 + B_3 + B_3 nehme ich an.

3.

Zitat:

3) Verschieben Sie die Pyramide mit den Basispunkten
A (0 | 1 | –1), B (2 | 3 | –1), C (–1 | 2 | –1) und der Spitze S (0 | 0 | 7) so, dass die Spitze auf
S' (4 | 3 | 10) zu liegen kommt.

Im R^2 wäre es relativ leicht, den benötigten Vektor dazu addieren.
Im R^3 ist es mir ein Rätsel.

lg

17.03.2013, 15:08

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hat schon was mit Bruchrechnung zu tun. Wenn ihr mit Vektoren rechnet solltest du das eigentlich können. Ich verweise auch auf meine vorige Erklärung:

Zitat:

Erklär es dir so: Du teilst $\begin{eqnarray*} \binom{x}{y} \end{eqnarray*}$ durch seinen Betrag. Jetzt hat er die Länge 1. Nun multiplizierst du ihn mit dem Betrag von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ und er hat die gleiche Länge wie $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$ .

2. ist richtig. Und ja, es gilt
$\begin{eqnarray*} 3 \binom{1}{1}=\binom{1}{1}+\binom{1}{1}+\binom{1}{1}=\binom{3 \cdot 1}{3 \cdot 1} \end{eqnarray*}$
Habt ihr Multiplikation mit einem Skalaren noch nicht durchgenommen?

3. Vektoraddition im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ funktioniert auch nicht viel anders als im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .
Graphisch gesehen werden Pfeile aneinander gehängt, rechnerisch passiert ja folgendes:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\a_{3} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1} \\ a_{2} +b_{2}\\a_{3}+b_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Finde also einen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , sodass
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}+\vec{x}=\overrightarrow{OS'} \end{eqnarray*}$

17.03.2013, 18:07

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

3.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\ 0 \\7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 \\ 3\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 3 \\17\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a.
A,B,C,D bleibt gleich, da sich nur die Spitze verschoben hat.
Die Figur ändert dadurch ihre Form.

b.
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{O} \end{eqnarray*}$

is ja dasselbe?

lg

17.03.2013, 18:20

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

O bezeichnet den Koordinaten-Urpsrung. $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS} \end{eqnarray*}$ ist der Vektor, der von O zu S zeigt. Das wird halt so geschrieben, um eine Unterscheidung zwischen Vektoren und Punkten zu machen.
$\begin{eqnarray*} S(0|0|7) \Rightarrow \overrightarrow{OS}=\begin{pmatrix}0\\0\\7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich meinte also, du sollst ein $\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ finden, sodass
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Reden wir noch über die Pyramidenaufgabe? Da gibt gibt es nur die Punkte A,B,C und S, nicht D.
Warum sollte die Figur ihre Form ändern? Danach, ob sie das tut, wurde auch gar nicht gefragt. Schließlich sollst du die Pyramide mit den Basispunkten verschieben.

17.03.2013, 19:03

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.

In diesem Fall hätte ich 3 lösbare Gleichungen.

0 +x_1 = 4; x_1= 4

0 + x_2 = 3; x_2 = 3

7 + x_3 = 10; x_3 = 3

---------------------------------

Alle anderen Punkte müssen um denselben Faktor/Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.03.2013, 19:48

quflosity

Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.
Wenn du willst, kannst du die Lösungen ja noch hinschreiben, aber vom Prinzip hast du es ja.

17.03.2013, 20:22

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Wichtig ist mir hier vor allem die Notation also der Rechenweg.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\0\\7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\3\\10\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

---------------------------------

0 +x_1 = 4; x_1= 4

0 + x_2 = 3; x_2 = 3

7 + x_3 = 10; x_3 = 3

---------------------------------

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------

A (0 | 1 | –1), B (2 | 3 | –1), C (–1 | 2 | –1)

A

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

B

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

C

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lg

13.04.2013, 20:24

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmen die Ergebnisse der letzten Aufgabe. (letztes Post, Aufgabe 3. vom Thread).

Zitat:

3) Verschieben Sie die Pyramide mit den Basispunkten
A (0 | 1 | –1), B (2 | 3 | –1), C (–1 | 2 | –1) und der Spitze S (0 | 0 | 7) so, dass die Spitze auf
S' (4 | 3 | 10) zu liegen kommt.

lg

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »