Konvergenz

12.03.2013, 22:48

mathe64

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Konvergenz

Meine Frage:
Hallo alle experten ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} an = \sum\limits_{k=1}^n \frac{2k+1}{k^2*(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

n element N

Weisen Sie nach, dass diese Folge konvergiert, und berechnen Sie den zugehörigen Grenzwert.

kann mir jemand helfen?

Meine Ideen:
keine

12.03.2013, 23:07

weisbrot

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RE: Konvergenz
versuch mal im zähler geschickte ne 0 dazuzuaddieren!
lg

12.03.2013, 23:39

mathe64

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Aber das ändert doch nichts am Nenner oder?

12.03.2013, 23:46

Helferlein

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Erstmal nicht, aber wenn Du die "richtige" Null nimmst, kannst Du den Bruch vereinfachen.

12.03.2013, 23:58

mathe 64

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Was meinst du mit richtige null?

Das verstehe ich nicht.

13.03.2013, 00:35

mathe 64

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Ich könnt doch das auch so schreiben oder?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{2k}{k^2*(k+1)^2} + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

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13.03.2013, 07:04

Helferlein

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Nein, kannst Du nicht.
Versuch mal im Zähler ein Quadrat hinzubekommen.

13.03.2013, 09:26

mathe 64

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Soll ich den Zähler und nenner qudrieren ?

13.03.2013, 09:42

klarsoweit

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Nee. Gesucht ist eine äquivalente Umformung, und das kann man vom Quadrieren nun nicht behaupten.

Wenn man mal auf den Zähler schaut, dann steht da 2k + 1. Das erinnert doch stark an die 1. binomische Formel. Dem fehlt offensichtlich nur das k². Also addiert man das einfach mal und zieht es der guten Ordnung halber gleich wieder ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.03.2013, 21:12

mathe 64

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Das verstehe ich nicht .
Was soll ich da genau machen?

14.03.2013, 21:26

Grautvornix

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Ziel ist es den Summanden geschickt zu zerlegen. Dabei spielt die bereits erwähnte 1. bin. Formel eine Rolle.
Wenn das so noch nicht genügt als Hinweis, dann schreib diese Formel einfach mal hin.

14.03.2013, 22:04

mathe 64

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Kannst du mir das zeigen wie ich das machen soll?

Ich versteh das irgendwie nicht.

14.03.2013, 22:15

Grautvornix

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Zitat:

Original von mathe 64
Kannst du mir das zeigen wie ich das machen soll?

Ich versteh das irgendwie nicht.

Ich soll Dir sagen wie Du die 1. binomische Formel hinschreiben sollst? So so...?

Es gibt jetzt genau 2 Möglichkeiten:

1. Du kriegst das wirklich nicht hin, dann bist Du in der HS-Mathe aber definitv falsch

2. Du willst mich verarschen, ...

Wie auch immer, ich bin raus!

14.03.2013, 22:21

Helferlein

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@mathe64
Wir haben Dir schon soviele Tips gegeben, dass die Aufgabe von einem Mittelstufenschüler gelöst werden könnte und außer einer dubiosen Darstellung (die vermutlich auch nur geraten war), kam bislang 0 Mitarbeit von Dir.

Es ist nicht Sinn des Matheboards, Dir die Lösung anzugeben, erst recht nicht im Hochschulbereich. Sollte weiterhin keine Bereitschaft zur Eigenarbeit erkennbar sein, wird dieser Thread geschlossen. Dasselbe gilt natürlich auch für möglicherweise noch folgende Threads mit ähnlichem Charakter.

15.03.2013, 08:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn man mal auf den Zähler schaut, dann steht da 2k + 1. Das erinnert doch stark an die 1. binomische Formel. Dem fehlt offensichtlich nur das k². Also addiert man das einfach mal und zieht es der guten Ordnung halber gleich wieder ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von mathe 64
Das verstehe ich nicht .
Was soll ich da genau machen?

Also wenn das nicht deutlich genug ist, dann weiß ich auch nicht weiter. unglücklich

unglücklich

Wie bei einem Backrezept steht doch da ganz klar: man nehme den Zähler, addiere dort ein dort k² und subtrahiere es wieder.

Ich werde der Kultusministerkonferenz folgende 2 Aufgaben fürs Mathe-Abi vorschlagen:
1. Wie lauten die 3 binomischen Formeln?
2. Addiere 3 zu 5 und subtrahiere 3. Welches Ergebnis erhalten Sie?

Ich bin da sehr auf die Durchfallquote gespannt. Big Laugh

Big Laugh

15.03.2013, 09:15

mathe64

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k^2*(k+1)^2 + k^2

Das steht dann im Nenner , wie gehe ich weiter vor?

15.03.2013, 09:27

klarsoweit

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RE: Konvergenz
Es ist nicht zu fassen. unglücklich

unglücklich

Habe ich vom Nenner geredet? Eher nicht. Du sollst im Zähler von $\begin{eqnarray*} \frac{2k+1}{k^2*(k+1)^2} \end{eqnarray*}$ eine Null addieren, indem du den Term k² - k² hinzufügst.

15.03.2013, 09:33

RavenOnJ

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Liest du die Tipps eigentlich?

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn man mal auf den Zähler schaut, dann steht da 2k + 1. Das erinnert doch stark an die 1. binomische Formel. Dem fehlt offensichtlich nur das k². Also addiert man das einfach mal und zieht es der guten Ordnung halber gleich wieder ab. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da steht Zähler!! Das ist das über dem Querstrich. Und klarsoweit meint natürlich nicht, dass man dort einfach ein $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ addiert, sondern man addiert geschickt eine Null, d.h. in diesem Fall $\begin{eqnarray*} k^2 - k^2 \end{eqnarray*}$ und rechnet dann weiter. Die Binomische Formel muss man dann natürlich im Kopf haben.

15.03.2013, 10:11

mathe64

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ah jetzt verstehe ich es . Dann bleibt doch nur 1/k^2 stehen oder?

15.03.2013, 10:13

Mathe64

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Ne tschuldigung dann müsste als Grenzwert -1 raus kommen oder?

15.03.2013, 10:17

RavenOnJ

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Überwinde mal deine Schreibfaulheit und schreibe detailliert deine Rechnung hier hin, in Latex natürlich!

15.03.2013, 10:40

Mathe64

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$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)^2 - k^2}{k^2*(k-1)^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt der Ansatz?

15.03.2013, 10:42

RavenOnJ

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Nein. Es fehlt das Summenzeichen und der Nenner ist nicht richtig.

15.03.2013, 10:44

Mathe64

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(k+1)^2 - k^2}{k^2*(k+1)^2} \end{eqnarray*}$

So richtig?

15.03.2013, 10:46

RavenOnJ

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OK, jetzt stimmt's. Und was machst du jetzt damit?

15.03.2013, 10:58

Mathe64

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Hast du einen Tipp für mich wie ich weiter Vorgehen kann?

15.03.2013, 11:02

pitti_p

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Den Bruch "auseinander ziehen"

15.03.2013, 11:08

RavenOnJ

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Das sollte dir jetzt eigentlich ins Auge springen. Was kann man mit einem Bruch machen, der im Zähler eine Summe/Differenz aufweist? Stoff 7./8. Klasse, nehme ich an.

15.03.2013, 11:12

Mathe 64

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Das wäre doch so oder;
1/k^2 - 1/(k+1)^2.

Stimmt es so?

15.03.2013, 11:22

RavenOnJ

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Bitte vollständig und in Latex.

15.03.2013, 12:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe 64
Das wäre doch so oder;
1/k^2 - 1/(k+1)^2.

Ich würde das jetzt mal so gelten lassen. Jetzt hast du einen Summationsausdruck, mit dem die Summe zu einer Teleskopsumme wird.

15.03.2013, 12:48

samsonian

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Der Ansatz mit den Teleskopsummen ist natürlich der schönere Lösungsweg, aber kann man nicht einfach den Nenner ausmultiplizieren und dann mit Grenzwersatz drauf rumreiten, dass es offensichtlich eine Nullfolge ist.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{k^{4}+2k^{3}+1} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{k^{3}+2k^{2}+\frac{1}{k} } + \frac{1}{k^{4}+2k^{3}+1} \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 12:51

RavenOnJ

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Beachte mal, dass es hier nicht um Konvergenz ging (zumindest bei der ursprünglichen Aufgabe). Der Titel des Threads ist also irreführend.

Außerdem stimmt dein Nenner nicht.

15.03.2013, 13:04

samsonian

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Weisen sie nach dass die Reihe konvergent ist. Den Grenzwert erhält man zwar nicht, aber wenn es nur um die Konvergenz ginge, wäre das eine Darstellung, welche die Konvergenz eindeutig zeigt und für die man volle Punkte bekäme?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{k^{4}+2k^{3}+k^{2}} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2}{k^{3}+2k^{2}+k } + \frac{1}{k^{4}+2k^{3}+k^{2}} \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 13:42

RavenOnJ

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Wenn es nur um den Nachweis der Konvergenz ginge, dann wäre das richtig. Es ginge aber noch einfacher, indem du majorisierst

$\begin{eqnarray*} 0 <\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2k+1}{k^{4}+2k^{3}+k^{2}} < \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3k}{k^{4}+2k^{3}+k^2 } = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{3}{k^{3}+2k^{2}+k } < 3\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3}} < \infty \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 13:53

samsonian

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Ja, das ist sogar noch unkomplizierter.

15.03.2013, 23:19

mathe 64

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Mathe 64
Das wäre doch so oder;
1/k^2 - 1/(k+1)^2.

Ich würde das jetzt mal so gelten lassen. Jetzt hast du einen Summationsausdruck, mit dem die Summe zu einer Teleskopsumme wird.

Schön aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

Geht die Teleskopsumme gegen 1???

16.03.2013, 00:57

Helferlein

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Das wollen wir von Dir wissen Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2013, 00:59

mathe 64

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Ich denke es geht gegen 1.

Stimmts?

16.03.2013, 01:37

Helferlein

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Möglich.
Wie kommst Du denn zu der Vermutung?

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