Splines und ganzrationale Funktionen

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MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »
Splines und ganzrationale Funktionen
Hallo, ich hoffe ich bin jetzt mal hier im richtigen Bereich.

Ich habe folgende Aufgabe:

Wie kann ich den Umriss eines Autos mit Splines und verschiedenen ganzrationalen Funktionen rechnerisch nachbilden?

Das Auto von dem ich die Umrisse nehmen soll ist im Anhang (falls dieser nicht sofort gezeigt wird, habe ich das jetzt hier nochmal dazu geschrieben)


Ich habe keinen Ansatz, also ich weiß echt nicht wie ich anfangen soll.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Splines und ganzrationale Funktionen
Pause den Umriss auf Karopapier, setze einen beliebigen Nullpunkt und überleg Dir sinnvolle Punkte, die in der Kurve enthalten sein sollen. Notier Dir deren Koordinaten.

Für die dann z.B. benötigten kubischen Splines schau Dir mal diese Seite an. Bei Rückfragen melde Dich einfach.

Viele Grüße
Steffen
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Splines und ganzrationale Funktionen
Erstmal ein großes Dankeschön.

Ich werde es dann mal abpausen.

Ich werde auf jedenfall Hilfe benötigen.
Ich meld mich dann gleich wieder Augenzwinkern

bitte steh mir bei :P haha
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Splines und ganzrationale Funktionen
Das sind nun meine Koordinaten.
p1(0/0)
p2 (0.2/1)
p3(0.5/2)
p4(1/2.5)
p5(3.4/4.5)
p6(5.5/3.5)
p7(7.5/4.8)
p8(9.5/5.2)
p9(10.5/5.4)
p10(19/5)
p11(20,8/2.5)
p12(20.8/1,9)
p13(21.1/1.4)
p14(21.2/0)

Kannst du mir es vielleicht für doofe erklären.
Ich verstehe den Formel kram da nicht so ganz.

Wie muss ich nun vorgehen um an eine geeignete Funktion zu kommen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Splines und ganzrationale Funktionen
So viele Punkte würde ich gar nicht nehmen, Du rechnest Dir ja einen Wolf. Außerdem sieht p5 komisch aus, das Auto hätte da eine Riesenbeule.

Nein, es geht hier darum, mit ein paar schön geschwungenen Kurvenabschnitten diese Form nachzubilden. (Tatsächlich nur den oberen Teil, nicht auch noch unten zurück?)

Wo diese Kurven anfangen und aufhören, wieviele es also insgesamt sind, entscheidest in der Tat Du, aber viele Abschnitte sind einfach näherungsweise Geraden. Fang mit denen an. Zum Beispiel ist von der Heckkante bis zum Türholm eine gerade Strecke. Geh jeweils ein bißchen von den Übergängen weg, und setz da die zwei Punkte, die ungefähr Deinem p9 und p10 entsprechen dürften.

Aus diesen zwei Punkten mach dann mal die zugehörige Geradengleichung.

Dann such Dir weitere Punkte, die mit Geraden verbunden werden könnten, ohne daß es weh tut. Die Heckscheibe zum Beispiel. Wieder eine Gleichung. Und so weiter.

EDIT: ich hab Dir mal im Anhang ein paar Vorschläge rot reingezeichnet.

Du bekommst so einige Geraden zusammen, die dann mit den kubischen Splines verbunden werden. Das machen wir dann gemeinsam an einem Beispiel, wenn Du alle Geradengleichungen hast.

Viele Grüße
Steffen
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Bei P5 hatte ich die x und y Koordinatenvertauscht..


Danke für die Vorgaben, ich denke ich werde sie so übernehmen. Dankeschön. Du hast recht ich müsste viel zu viel rechnen..
Die Form die am Ende herauskommen soll, muss ja nicht perfekt sein.
Also habe ich jetzt nur noch 12 Punkte die, 6 Geraden ergeben.
das sind die neuen koordinaten
p1(0/0)
p2(0.5/2)
p3(1/2.5)
p4(4.5/3.4)
p5(5.5/3.5)
p6(8.5/4.8)
p7(10.5/5.4)
p8(17.5/5.2)
p9(18.5/5)
p10(20.5/3.2)
p11(20.8/2.5)
p12(21.2/0)

geradengleichungen kommen gleich..
 
 
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Geradengleichungen
1. y=4x-2
2. y=0.257143x+2.24286
3. y=0.433333x+1.11667
4. y=-0.28571x+5.54857
5. y=-0.9x+7.88
6. y=-6.25x+151.2
Kannst du die vielleicht nochmal überprüfen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheSimon
1. y=4x-2


Kann nicht sein, falls das die Gerade ist, die durch (0|0) geht.

Zitat:
Original von MatheSimon
5. y=-0.9x+7.88
6. y=-6.25x+151.2


Hier hab ich als absolutes Glied etwa 22 bzw. 132.

Einigermaßen paßt's aber, ich würde daher sagen, wir konstruieren als Beispiel mal den kubischen Spline zwischen Gerade 3 und 4, also

y=0.433333x+1.11667, die im Punkt (8,5|4,8) endet
y=-0.28571x+5.54857, die im Punkt (10,5|5,4) endet

Das ist der Übergang zwischen Windschutzscheibe und Dach.

Weißt Du schon was über kubische Splines?

Viele Grüße
Steffen
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist die Gerade auf der die Punkte p1 und p2 liegen.
Kannst du die korekte Gleichung mal aufstellen und vllt. auch reinschreiben wie du gerechnet hast? smile

Was bedeutet absolutes Glied?

Naja ich weiß nicht wirklich was darüber..

Gut, dann lass uns das mal als Beispiel nehmen.

Ich bin gespannt

Dankvolle Grüße
Simon
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheSimon
Es ist die Gerade auf der die Punkte p1 und p2 liegen.


Eben nicht, denn p1 ist (0|0), wenn Du bei y=4x-2 aber x=0 setzt, kommt nicht y=0 raus.

Zitat:
Original von MatheSimon
Kannst du die korekte Gleichung mal aufstellen


Weil Du's bist: y=4x.

Zitat:
Original von MatheSimon
und vllt. auch reinschreiben wie du gerechnet hast?


Och komm, in Hochschulmathe solltest Du die Zweipunkteform schon gehabt haben.

Zitat:
Original von MatheSimon
Was bedeutet absolutes Glied?


Echt jetzt, das auch nicht? Bei y=mx+n ist m das lineare und n das absolute Glied.

Zitat:
Original von MatheSimon
Gut, dann lass uns das mal als Beispiel nehmen.


Du weißt also nichts über kubische Splines? Habt Ihr die noch gar nicht durchgenommen? Warum sollst Du dann diese Aufgabe lösen?

Oder hast Du irgendwelche Unterlagen?
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ja mit der 2 punkteform gerechnet nur i.was falsch gemacht.

Ich bin in der Oberstufe einer Gesamtschule.. 12. Klasse
und das war einfach mein Facharbeits-Thema im Mathe Leistungskurs

Wir haben und werden es auch glaub ich nicht mehr durchnehmen.Ist ja auch eher was für die Fachhochschule oder?

Keine Unterlagen nichts..
Ich sollte mir halt selber was raussuchen, war aber halt verhindert und in der Bibliothek gab es auch nichts drüber..

Also bin ich auf dich angewiesen.. smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann halt einen Crashkurs über kubische Splines.

In unserem Beispiel wollen wir die Punkte (8,5|4,8) und (10,5|5,4) verbinden. Und zwar mit einer Parabel dritter Ordnung (daher kubisch). Die hat die allgemeine Form y=ax³+bx²+cx+d.

Die beiden Punkte kennen wir, das sind schon mal zwei Gleichungen.

Nun soll die Parabel aber auch "glatt", also ohne Knick, in die beiden Geraden links und rechts hineingehen. Das bedeutet, die Steigung im Punkt links muß der Steigung der linken Geraden entsprechen, die des rechten Punktes der Steigung der rechten Geraden.

Das sind zwei weitere Gleichungen. Vier Gleichungen, vier Unbekannte, kannst Du also lösen.

Jetzt bist Du wieder dran.
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Steffen was muss ich machen? :OO

Wie sind denn die Gleichungen von den Punkten??

und muss ich das mit ner Matrix machen??

Ich verzweifel .__.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheSimon
Wie sind denn die Gleichungen von den Punkten?


Du hast y=ax³+bx²+cx+d und den Punkt (8,5|4,8). Der Punkt steht wie immer für (x|y). Also gilt hier z.B.

4,8=a*8,5³+b*8,5²+c*8,5+d

Und so weiter.

Dann das Entsprechende mit der Ableitung. Die muß bei den beiden x-Werten dasselbe sein wie das lineare Glied der zugehörigen Geradengleichung. Du weißt warum, oder?

Zitat:
Original von MatheSimon
und muss ich das mit ner Matrix machen?


Was Dir am liebsten ist, wie Du ein 4er-LGS löst.

Viele Grüße
Steffen

PS: Für heut mach ich Schluß. Vielleicht kann jemand anders aushelfen.
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht weiter..
Wie komm ich an die 4 Gleichungen und wie setze ich sie dann in die Matrix ein?

Kann mir da jemand weiterhelfen?
schultz Auf diesen Beitrag antworten »

vergiss erstmal die matrix, die kommt erst wenn du dein gleichungssystem aufgestellt hast.
eine gleichung hat dir steffen ja schon gegeben.
du hast eine allgemeine kubische gleichung die wie folgt aussieht:
Gleichung 1: y=ax^3+bx^2+cx+d
und deren ableitung
Gleichung 2: y'=3ax^2+2bx+c

nun hast du die beiden punkte die du verbinden willst (8,5|4,8) und (10,5|5,4).
wenn du x und y dieser punkte in gleichung 1 einsetzt, muss sie erfüllt sein.
wenn du den x wert in gleichung 2 einsetzt dann muss das jeweils das gleiche ergeben wie das m von deiner anliegenden geraden.
Nun schau mal ob du damit 4 Gleichungen mit den 4 unbekannten a,b,c,d aufstellen kannst
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs bis jetzt so weit:

4.8=8.5a^3+8.5b^2+8.5c+d
und
5.4=10.5a^3+10.5b^2+10.5c+d

Wie soll ich jetzt den x-wert einsetzen..?
einfach so:
4.8=25.5a^2+17b+c
und
5.4=31.5a^2+21b^+c

Was ist hier jetzt das m und.. ist das überhaupt richtig so abgeleitet.. muss ich das y also 4.8 und 5.4 auch noch verändern?

und welche anliegende gerade ist gemeint.. etwa die von beiden punkten??

Liebe grüße
Simon smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheSimon
4.8=8.5a^3+8.5b^2+8.5c+d


Nein, das kommt nicht raus, wenn Du (8,5|4,8) für x und y in die Gleichung y=ax³+bx²+cx+d einsetzt! Ich hab's Dir doch schon hingeschrieben, da muß stehen

4,8=a*8,5³+b*8,5²+c*8,5+d

Siehst Du warum? Nix mit a³ und b²! Das x wird potenziert, a bis d sind die Koeffizienten.

Jetzt schreib mal die andere Gleichung richtig hin. Stur für x und y einsetzen.

Zitat:
Original von MatheSimon
4.8=25.5a^2+17b+c


Auch hier hat Dir schultz die Ableitung schon hingeschrieben: y'=3ax^2+2bx+c. Und auch hier wird x stur eingesetzt. Für y' setzt Du dann die Steigung der entsprechenden Geraden ein.

Zitat:
Original von MatheSimon
und welche anliegende gerade ist gemeint.. etwa die von beiden punkten?


Ja, natürlich. Wie gesagt, wir verbinden die Gerade Nr.3 und die Gerade Nr.4. In den beiden Verbindungspunkten muß die Parabel dieselbe Steigung haben wie die Gerade, damit's glatt hineingeht. Somit kennst Du die beiden Werte für y', denn die Steigung einer Geraden wirst Du bei gegebener Gleichung ja kennen.
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab nun folgendes raus:

0.433333=25,5^2*a+17*b+c

-0,28571=31,5^2+21*b+c
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn es heißt bei der Ableitung nicht (3x)²a, sondern 3x²a. Zuerst quadrieren, dann mal 3.
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay.

dann ist folgendes nun richtig..:

0.433333=3*8.5^2*a+17*b+c
und
-0.28571=3*10.5^2*a+21*b+c

bzw.

0.433333=216,75*a+17*b+c
und
-0.28571=330,75*a+21*b+c
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, allerdings ist die Steigung der anderen Geraden -0,028571 und nicht -0,28571, wie ich beim Nachrechnen gesehen habe.

Jetzt hast Du die vier Gleichungen und kannst a, b, c und d bestimmen. Mit oder ohne Matrix, wie Du willst.
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe alle 4 gleichungen in meine CAS eingegeben

abcd=
10000 -0.048809
01000 1.27559
00100 -10.6723
00010 33.3281


also f(x)=-0.048809*x^3 + 1.27559*x^2 + -10.6723*x + 33.3281


ich glaub es ist noch was falsch..:O

Hab ich das so richtig in die Matrix eingesetzt??

8.5^3 |8.5^2 |8.5 |1|4.8
10.5^3|10.5^2|10.5|1 |5.4
216.75 |17 | 1 |0 |0.43333
330.75| 21 | 1 |0 |-0.02857

Gruß simon
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheSimon
f(x)=-0.048809*x^3 + 1.27559*x^2 + -10.6723*x + 33.3281


Schaun mer mal...



Nein, bei 8.5 schmiegt sie sich zwar schön an, aber bei 10,5 ist sie irgendwo, aber nicht an der Geraden.

EDIT: Ich hab den Fehler: Du hast alles richtig gerechnet, aber Deine Geradengleichung hatte noch den Fehler mit dem absoluten Glied drin. Diese Gleichung muß heißen:

y=-0,028571x+5,7

Dann paßt auch alles:





Zitat:
Original von MatheSimon
Hab ich das so richtig in die Matrix eingesetzt?


Ich mach das nicht so oft, aber das Ergebnis ist offenbar falsch. Mal sehen, was ich rausbekomme.
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich denn alle Geraden also die wir in der Zeichnung markiert haben, richtig aufgeschrieben??

Stimmen die jetzt alle?:
1. y=4x
2. y=0.257143x+2.24286
3. y=0.433333x+1.11667
4. y=-0.028571x+5.7
5. y=-0.9x+7.88
6. y=-6.25x+151.2

Und wie bekomme ich am Ende eine Funktion heraus, wenn ich alle kubischen Splines ausgerechnet habe, die den ganzen Umriss ausdrückt?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatheSimon
5. y=-0.9x+7.88
6. y=-6.25x+151.2


Nein, ich hatte doch geschrieben:
Zitat:
Hier hab ich als absolutes Glied etwa 22 bzw. 132.


Genauer 21,65 bzw. 132,5.

Ich dachte, Du hättest die Gleichungen daraufhin korrigiert. Und die anderen durchgeprüft. Ist mit Excel schnell erledigt.

Jetzt stimmen die Gleichungen dann alle.

Zitat:
Original von MatheSimon
Und wie bekomme ich am Ende eine Funktion heraus, wenn ich alle kubischen Splines ausgerechnet habe, die den ganzen Umriss ausdrückt?


Diese Funktion ist halt abschnittsweise definiert, vom ersten Punkt zum zweiten ist's eine Gerade, dann vom zweiten zum dritten eine Parabel, und so weiter.

Viele Grüße
Steffen
MatheSimon Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich danke dir erstmal von ganzem Herzen.
Würde dir nen Kasten-Bier ausgeben oder was auch immer du willst für deine Hilfe!
Schreib mir deine Adresse und wenn es nicht zu weit weg ist komm ich vorbei und würd mich gern nochmal persönlich bedanken, du bist mein Retter!

aber noch eine Frage..
wie schreibe ich das dann am Ende auf..
Der Umriss des Autos wird mit den folgenden Gleichungen nachgebildet:

dann alle Gleichungen hinschreiben fertig?

Gruß Simon Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das würde ungefähr so aussehen:



Alles Gute für Deine Facharbeit!

Viele Grüße
Steffen
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